Magma (matematiikka)

Magman algebralliset rakenteet ryhmäksi.

Algebrassa magma on yksinkertaisin algebrallinen rakenne. Mikä tahansa joukko ja joukon sisäinen "laskutoimitus" ovat yhdessä magma. Esimerkiksi kokonaislukujen joukko laskutoimituksena yhteenlasku on magma, samoin merkkijonot laskutoimituksena merkkijonojen yhdistäminen. Joukko ei siis tarkoita vain lukujoukkoja, ja laskutoimitus tarkoittaa mitä tahansa sääntöä, joka kuvaa parin joukon alkioita jollekin saman joukon alkiolle. Joukko voi olla myös äärellinen, esimerkiksi kokonaisluvut 1-10 laskutoimituksena suuremman valinta on magma.

Magmoilla ei ole juurikaan itsenäistä merkitystä matematiikassa. Monet monimutkaisemmat rakenteet ovat magmoja, joissa laskutoimitukselle on asetettu jotain lisävaatimuksia.

Grupoidi on vanhempi, mutta vielä käytössä oleva, synonyymi magmalle. Kategoriateoriassa, joka on toinen matematiikan osa-alue, grupoidilla on eri merkitys.

Määritelmä

Muodollisesti magma määritellään joukkona $G$ johon on määritelty binäärioperaatio $\quad *:G\times G\to G$, jolle ainoa ehto on

Operaatio $*$ on suljettu joukossa $G$ eli $\forall x,y\in G$, $x*y\in G$.

Laajennuksia

Magman laajennuksia ovat esimerkiksi:

Jos magma on assosiatiivinen eli aina $a*(b*c)=(a*b)*c$, kyseessä on puoliryhmä.

Jos yhtälöille $a*x=b$ ja $y*a=b$ löytyy ratkaisu kaikille $a$ ja $b$ magman $(M,*)$ perusjoukosta joillakin $x,y\in M$, kyseessä on kvasiryhmä.

Esimerkkejä

• Reaaliluvut laskutoimituksena yhteenlasku on magma ja ryhmä.
• Reaaliluvut laskutoimituksena vähennyslasku on magma ja kvasiryhmä.
• Reaaliluvut laskutoimituksena kertolasku on magma ja monoidi.
• Lukua yksi suuremmat kokonaisluvut laskutoimituksenaan potenssiinkorotus ovat "pelkkä" magma, joka ei toteuta mitään muulta algebralliselta rakenteelta vaadittavaa ominaisuutta. Se ei ole liitännäinen eikä vaihdannainen, vaan esimerkiksi $2^{(3^{4})}\not =(2^{3})^{4}$ ja $2^{3}\not =3^{2}$. Ei ole olemassa vasenta eikä oikeaa nolla-alkiota $e$ siten, että aina pätisi $x^{e}=x$ tai $e^{x}=x$. Yhtälöille ei ole välttämättä ratkaisua, eli esimerkiksi yhtälöillä $2^{x}=3$ ja $x^{2}=2$ ei ole ratkaisua.
• Tietokoneen liukulukujen yhteenlasku on vaihdannainen magma, kun liukulukuina pidetään myös positiivista ja negatiivista ääretöntä. Tämä magma ei pyöristysvirheiden ja ylivuodon vuoksi ole liitännäinen eikä yhtälöillä $a+x=b$ ja $x+a=b$ ole aina yksikäsitteistä ratkaisua, eli kyseessä ei ole puoliryhmä eikä kvasiryhmä.
• Reaaliluvut laskutoimituksena "valitse suurempi" on magma ja vaihdannainen puoliryhmä.
• $E=\{f:X\to X\}$, jossa $X$ on mikä tahansa joukko, laskutoimituksena kuvausten yhdistäminen.

Epäesimerkkejä ovat mm.

• Reaaliluvut ja jakolasku, koska nollalla jakamista ei ole määritelty.
• Luonnolliset luvut ja vähennyslasku, koska esimerkiksi laskun 2-3 tulos ei ole luonnollinen luku.

Lähteet

• Nimetön kurssimoniste, Algebra II / 2004, Helsingin yliopisto math.helsinki.fi. Arkistoitu 12.8.2011. Viitattu 25.10.2012. (suomeksi)

Kirjallisuutta

• Häsä, Jokke; Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0.