Laplacen yhtälö

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Laplacen yhtälö on matemaatikko Pierre-Simon Laplacen mukaan nimetty osittaisdifferentiaaliyhtälö, jolla voidaan mm. mallintaa tasapainotilan potentiaaleja. Laplacen yhtälöllä on sovelluksia mm. sähkömagnetismissa, tähtitieteessä ja virtausmekaniikassa.

Laplacen yhtälö kirjoitetaan nabla -operaattorin avulla muodossa

\nabla^2 \varphi = 0

Yleisessä käytössä, etenkin matematiikassa, on myös rinnakkainen merkintätapa

\Delta \varphi = 0

missä Δ on niin kutsuttu Laplacen operaattori.

Karteesisessa koordinaatistossa yhtälö voidaan kirjoittaa auki muotoon

{\partial^2 \varphi\over \partial x^2 } + {\partial^2 \varphi\over \partial y^2 } + {\partial^2 \varphi\over \partial z^2 } = 0.

Pallokoordinaatistossa yhtälö saa aukikirjoitettuna muodon

{1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\left(r^2 {\partial f \over \partial r}\right) 
  + {1 \over r^2\sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\left(\sin\theta {\partial f \over \partial \theta}\right) 
  + {1 \over r^2\sin^2\theta}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2} = 0

Laplacen yhtälön toteuttavia funktioita kutsutaan harmonisiksi funktioiksi.

Jos yhtälössä on myös vakiotermi tai koordinaateista riippuva funktio muotoa g(x,y,z), niin kyseessä on Poissonin yhtälö.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.