Konservatiivinen kenttä

Konservatiivinen kenttä on vektorikenttä F, jolle pätee

$\oint_\Gamma \mathbf{F} \cdot d \mathbf{x} = 0$

missä:

• $\Gamma$ on suljettu polku, jota pitkin integroimme

Jos F(x) on voimakenttä, tarkoittaa yllä oleva tulos, että tehty työ on nolla. Toisin sanoen työ riippuu vain polun alku- ja loppupisteistä, ei itse polusta. Esimerkki konservatiivisesta voimakentästä on painovoima.

Konservatiivinen kenttä ja skalaarikentän gradientti

Voimme kirjoittaa konservatiiviselle vektorikentälle $\mathbf{F}(\mathbf{x}) = - \nabla \phi$ jollekin skalaarikentälle $\phi$. Mikäli F(x) on voimakenttä, on $\phi$ potentiaalienergia (miinusmerkki on konventio; potentiaalienergia käsitetään sopimuksenmukaisesti negatiiviseksi). Lasketaan tehty työ, kun liikutaan polun $\Gamma$ läpi alkaen paikkavektorista x₀ ja päättyen paikkavektoriin x₁. Oletetaan, että $\Gamma$ voidaan parametrisoida $\mathbf{x} = \mathbf{x} \left( t \right)$ parametrille $t_0 \leq t \leq t_1$. Täten

$\int_\Gamma \mathbf{F} \cdot d \mathbf{x}$	$= \,\!$	$- \int_\Gamma \nabla \phi \cdot d \mathbf{x}$
	$= \,\!$	$- \int_{t_0}^{t_1} \nabla \phi \cdot \frac{d \mathbf{x}}{dt} dt = - \int_{t_0}^{t_1} \left( \frac{\partial \phi}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial \phi}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t} + \frac{\partial \phi}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial t} \right) dt$
	$= \,\!$	$- \int_{t_0}^{t_1} \frac{d}{dt} \phi \left( x(t), y(t), z(t) \right) dt = - \int_{t_0}^{t_1} \frac{d}{dt} \phi \left( \mathbf{x}(t) \right) dt$
	$= \,\!$	$\phi \left( \mathbf{x}(t_0) \right) - \phi \left( \mathbf{x}(t_1) \right) = \phi \left( \mathbf{x}_0 \right) - \phi \left( \mathbf{x}_1 \right)$

eli integraali riippuu vain alku- ja loppupisteistä.

• Yleisesti jos $\mathbf{F} = - \nabla \phi$, silloin $\oint_\Gamma \mathbf{F} \cdot d \mathbf{x} = 0 \ \forall \ \Gamma$.

• Vastaavasti jos $\oint_\Gamma \mathbf{F} \cdot d \mathbf{x} = 0 \ \forall \ \Gamma$, silloin $\mathbf{F} = - \nabla \phi$ jollekin $\phi$. Huomaa, että tämä ehto on paljon vahvempi, koska ei riitä, että jollekin $\Gamma$ $\oint_\Gamma \mathbf{F} \cdot d \mathbf{x} = 0$.

Konservatiivinen kenttä ja eksaktit differentiaalit

Koska osoitimme juuri, että konservatiiviselle vektorikentälle $\mathbf{F}(\mathbf{x}) = - \nabla \phi$, täten jos F on eksakti, eli $\mathbf{F} = P(x,y) \mathbf{i} + Q(x,y) \mathbf{j}$, voimme kirjoittaa $\mathbf{F} \cdot d \mathbf{x} = P(x,y)dx + Q(x,y)dy = d \phi$. Toisin sanoen vektorikenttä F on konservatiivinen, jos $P(x,y)dx + Q(x,y)dy$ on eksakti.

Konservatiivinen kenttä ja roottori

Konservatiiviselle vektorikentälle F pätee $\nabla \times \mathbf{F} = 0$. Tämä on seurausta, koska konservatiivinen kenttä voidaan kirjoittaa skalaarikentän mukaan $\mathbf{F}(\mathbf{x}) = - \nabla \phi$ (kts. yllä):

$\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\partial \phi}{\partial x} & \frac{\partial \phi}{\partial y} & \frac{\partial \phi}{\partial z} \end{vmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial \phi}{\partial z} - \frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial \phi}{\partial y} \\ - \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial \phi}{\partial z} + \frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial \phi}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial \phi}{\partial z} - \frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial \phi}{\partial x}\end{bmatrix} = \mathbf{0}$

koska $\frac{\partial}{\partial a}\frac{\partial \phi}{\partial b} = \frac{\partial \phi}{\partial a}\frac{\partial}{\partial b}$ ja $\frac{\partial}{\partial a}\frac{\partial \phi}{\partial b} = \frac{\partial \phi}{\partial b}\frac{\partial}{\partial a}$.

Tästä tuloksesta pääsemme takaisin yllä oleviin tuloksiin Stokesin lauseen avulla. Koska $\nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0}$, on $\oint_{\Gamma} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{l} = 0$ minkä tahansa polun $\Gamma$ ympäri, joka rajaa pinnan S, jolle Stokesin lauseen mukaisesti $\int_S \left( \nabla \times \mathbf{F} \right) \cdot \mathbf{dS} = 0 = \oint_{\Gamma} \mathbf{F} \cdot \mathbf{dl}$. Täten F on konservatiivinen. (Pinnan S yksityiskohdilla ei ole erityisemmin väliä, koska $\nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0}$.)