Konservatiivinen kenttä

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Konservatiivinen kenttä on vektorikenttä F, jolle pätee

\oint_\Gamma \mathbf{F} \cdot d \mathbf{x} = 0

missä:

  • \Gamma on suljettu polku, jota pitkin integroimme

Jos F(x) on voimakenttä, tarkoittaa yllä oleva tulos, että tehty työ on nolla. Toisin sanoen työ riippuu vain polun alku- ja loppupisteistä, ei itse polusta. Esimerkki konservatiivisesta voimakentästä on painovoima.

Konservatiivinen kenttä ja skalaarikentän gradientti[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Voimme kirjoittaa konservatiiviselle vektorikentälle \mathbf{F}(\mathbf{x}) = - \nabla \phi jollekin skalaarikentälle \phi. Mikäli F(x) on voimakenttä, on \phi potentiaalienergia (miinusmerkki on konventio; potentiaalienergia käsitetään sopimuksenmukaisesti negatiiviseksi). Lasketaan tehty työ, kun liikutaan polun \Gamma läpi alkaen paikkavektorista x0 ja päättyen paikkavektoriin x1. Oletetaan, että \Gamma voidaan parametrisoida \mathbf{x} = \mathbf{x} \left( t \right) parametrille t_0 \leq t \leq t_1. Täten

\int_\Gamma \mathbf{F} \cdot d \mathbf{x}  = \,\! - \int_\Gamma \nabla \phi \cdot d \mathbf{x}
 = \,\! - \int_{t_0}^{t_1} \nabla \phi \cdot \frac{d \mathbf{x}}{dt} dt
= - \int_{t_0}^{t_1} \left( \frac{\partial \phi}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial \phi}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t} + \frac{\partial \phi}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial t} \right) dt
 = \,\! - \int_{t_0}^{t_1} \frac{d}{dt} \phi \left( x(t), y(t), z(t) \right) dt
= - \int_{t_0}^{t_1} \frac{d}{dt} \phi \left( \mathbf{x}(t) \right) dt
 = \,\! \phi \left( \mathbf{x}(t_0) \right) - \phi \left( \mathbf{x}(t_1) \right)
= \phi \left( \mathbf{x}_0 \right) - \phi \left( \mathbf{x}_1 \right)

eli integraali riippuu vain alku- ja loppupisteistä.

  • Yleisesti jos \mathbf{F} = - \nabla \phi, silloin \oint_\Gamma \mathbf{F} \cdot d \mathbf{x} = 0 \ \forall \ \Gamma.
  • Vastaavasti jos \oint_\Gamma \mathbf{F} \cdot d \mathbf{x} = 0 \ \forall \  \Gamma, silloin \mathbf{F} = - \nabla \phi jollekin \phi. Huomaa, että tämä ehto on paljon vahvempi, koska ei riitä, että jollekin \Gamma \oint_\Gamma \mathbf{F} \cdot d \mathbf{x} = 0.

Konservatiivinen kenttä ja eksaktit differentiaalit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Koska osoitimme juuri, että konservatiiviselle vektorikentälle \mathbf{F}(\mathbf{x}) = - \nabla \phi, täten jos F on eksakti, eli \mathbf{F} = P(x,y) \mathbf{i} + Q(x,y) \mathbf{j}, voimme kirjoittaa \mathbf{F} \cdot d \mathbf{x} = P(x,y)dx + Q(x,y)dy = d \phi. Toisin sanoen vektorikenttä F on konservatiivinen, jos P(x,y)dx + Q(x,y)dy on eksakti.

Konservatiivinen kenttä ja roottori[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Konservatiiviselle vektorikentälle F pätee \nabla \times \mathbf{F} = 0. Tämä on seurausta, koska konservatiivinen kenttä voidaan kirjoittaa skalaarikentän mukaan \mathbf{F}(\mathbf{x}) = - \nabla \phi (kts. yllä):

\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} &  \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\partial \phi}{\partial x} & \frac{\partial \phi}{\partial y} & \frac{\partial \phi}{\partial z} \end{vmatrix}
= \begin{bmatrix}
\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial \phi}{\partial z} - \frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial \phi}{\partial y} \\
- \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial \phi}{\partial z} + \frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial \phi}{\partial x} \\
\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial \phi}{\partial z} - \frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial \phi}{\partial x}\end{bmatrix} 
= \mathbf{0}

koska \frac{\partial}{\partial a}\frac{\partial \phi}{\partial b} = \frac{\partial \phi}{\partial a}\frac{\partial}{\partial b} ja \frac{\partial}{\partial a}\frac{\partial \phi}{\partial b} = \frac{\partial \phi}{\partial b}\frac{\partial}{\partial a}.

Tästä tuloksesta pääsemme takaisin yllä oleviin tuloksiin Stokesin lauseen avulla. Koska \nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0}, on \oint_{\Gamma} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{l} = 0 minkä tahansa polun \Gamma ympäri, joka rajaa pinnan S, jolle Stokesin lauseen mukaisesti \int_S \left( \nabla \times \mathbf{F} \right) \cdot \mathbf{dS} = 0
= \oint_{\Gamma} \mathbf{F} \cdot \mathbf{dl}. Täten F on konservatiivinen. (Pinnan S yksityiskohdilla ei ole erityisemmin väliä, koska \nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0}.)