Eksakti differentiaali

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Eksakti differentiaali tarkoittaa yleistä differentiaalimuotoa P(x,y)dx + Q(x,y)dy \,\!, jolle löytyy jokin funktio f siten että:

df = P(x,y)dx + Q(x,y)dy \,\!.

Toisin sanoen P(x,y)dx + Q(x,y)dy \,\! on siis eksakti, mikäli ja vain mikäli \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}.

Differentiaali dg = L(x)dx \,\! on aina eksakti.




Tämä on seurausta, koska differentiaalille df on voimassa

df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy

on \frac{\partial f}{\partial x} = P(x,y) ja \frac{\partial f}{\partial y} = Q(x,y) \,\!.

Koska \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right) = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right), on oltava \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}.

Tämä on sekä välttämätön että riittävä ehto eksaktille differentiaalille. Tämän voi osoittaa määrittelemällä mahdollinen funktio f integraalina ja sitten todistamalla, että sen määritelmä on yksiselitteinen.

Eksaktit differentiaalit ja differentiaaliyhtälöt[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

\frac{dy}{dx} = - \frac{P(x,y)}{Q(x,y} voidaan kirjoittaa muodossa P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 \,\!. Jos P(x,y)dx + Q(x,y)dy \,\! on eksakti, eli on funktio f, jolle df = P(x,y)dx + Q(x,y)dy \,\!, on tällöin df = 0 \,\! ja ratkaisu siten f(x,y) = \lambda \,\!, missä \lambda \,\! on vakio.

Integrointitekijät[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Funktiota \mu (x,y) \,\! kutsutaan integrointitekijäksi, mikäli se tekee epäeksaktista differentiaalimuodosta P(x,y)dx + Q(x,y)dy \,\! eksaktin, eli

\mu (x,y) P(x,y)dx + \mu (x,y) Q(x,y)dy \,\!

on eksakti. Tällöin on oltava

\frac{\partial}{\partial y} \left( \mu P \right) =  \frac{\partial}{\partial x} \left( \mu Q \right) \,\!

josta

\mu \left( \frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x} \right) + P\frac{\partial \mu}{\partial y} - Q\frac{\partial \mu}{\partial x} = 0 \,\!

Tämä on yleensä erittäin vaikea ratkaista. Erikoistapauksessa \mu \equiv \mu (x) \,\! saamme

\frac{1}{\mu} \frac{d \mu}{dx} = \left( \frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x} \right) \frac{1}{Q} \,\!

joka on koherentti, mikäli oikea puoli on pelkästään x:n funktio. Samoin integrointitekijälle \mu (y) \,\!

\frac{1}{\mu} \frac{d \mu}{dy} = - \left( \frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x} \right) \frac{1}{P} \,\!

jos oikea puoli on vain y:n funktio.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]