Käyrän pituus

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Pisteiden välisten matkojen summa antaa approksimaation käyrän pituudesta.

Käyrän pituus, s, funktiolle f saadaan integraalina

\displaystyle s = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + [f'(x)]^2}\, dx

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon funktio f määritelty suljetulla välillä [a, b], jolloin voidaan muodostaa f:n rajoittuma tälle välille eli g:[a,b]\to\mathbb{R}, missä g(x)=f(x) kaikilla x\in[a,b]. Lisäksi vaaditaan, että funktiolla f on jatkuva derivaatta f'. Olkoon K funktion g kuvaaja.

Määritellään piste Pi joksikin kuvaajan K pisteeksi (x_i, f(x_i)), x_0 < x_1 < \ldots < x_n ja x_0 = a, x_n = b.

Tällöin kuvaajan K pituus on peräkkäisten pisteiden (P_i, P_{i+1}), jossa i\in[0,n-1], välisten etäisyyksien summan raja-arvo, kun välin jakoa tihennetään rajatta.


\begin{align}
\sum_{i = 1}^{n} |{P_{i-1}P_i}| & = \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{(x_i - x_{i-1})^2 + [f(x_i) - f(x_{i-1})]^2} \\
& = \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{\left( 1 + \frac{[f(x_i) - f(x_{i-1})]^2}{\Delta x^2} \right) \Delta x^2}, \,\Delta x = (x_i - x_{i-1}) \\
& = \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{\left( 1 + \left( \frac{f(x_i) - f(x_{i-1})}{\Delta x} \right) ^2 \right) }\Delta x \\
\end{align}

Kun Δx → 0, termi \frac{f(x_i) - f(x_{i-1})}{\Delta x} = f'(x)

Saadaan integraali:


L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + [f'(x)]^2}\,dx

Käyrän pituus johdettuna differentiaalien avulla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

\begin{align}
(ds)^2 &{} = (dx)^2 + (dy)^2 \\
L &{} = \int\ ds \\
&{} = \int\ \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} \\
&{} = \int\ \sqrt{(dx)^2 \left[ {1 + \left( {dy \over dx} \right) ^2} \right] } \\
L &{} = \int_{}^{} \sqrt{ {1 + \left( {dy \over dx} \right) ^2}} dx
\end{align}

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.