Jacobin elliptiset funktiot

Jacobin elliptiset funktiot ovat kahdentoista erikoisfunktion joukko. Ne tulevat vastaan etsittäessä käänteisfunktiota ensimmäisen lajin elliptiselle integraalille. Jacobin elliptiset funktiot muistuttavat monilta ominaisuuksiltaan trigonometrisia funktioita ja niiden nimeämisessä on tiettyjä yhtäläisyyksiä. Funktiot otti käyttöön Carl Gustav Jakob Jacobi noin vuonna 1830.

sn, cn ja dn

Olkoon ensimmäisen lajin elliptinen integraali määritelty Legendren muodossa

$u = \int_0^\phi \frac{d\theta}{\sqrt{1 - k^2\sin^2\theta}}$,

missä $\phi = \mathrm{amp}\;u\,$ on elliptisen integraalin amplitudi. Määritellään uusi funktio siten, että

$\mathrm{sn}\;u = \sin \phi\,$.

Vastaavasti toinen funktio saadaan kosinin avulla

$\mathrm{cn}\;u = \cos \phi$.

Kolmas funktio on

$\mathrm{dn}\;u = \sqrt{1 - k^2\sin^2\phi}$.

Nämä ovat kolme ensimmäistä Jacobin elliptistä funktiota. Viimeistä funktiota kutsutaan joskus myös delta amplitudiksi. Trigonometristen funktioiden tapaan näille on voimassa

$\mathrm{sn}^2 u + \mathrm{cn}^2 u = 1\,$

ja funktion $dn$ määritelmästä nähdään, että

$\mathrm{dn}^2 u + k^2 \mathrm{sn}^2 u = 1\,$.

Muita Jacobin elliptisiä funktioita

Lisää Jacobin elliptisiä funktioita saadaan edellisten osamäärinä. Huomaa kuinka uusien funktioiden nimet muodostuvat:

$\mathrm{sc}\;u = \frac{\mathrm{sn}\;u}{\mathrm{cn}\;u}$

$\mathrm{sd}\;u = \frac{\mathrm{sn}\;u}{\mathrm{dn}\;u}$

$\mathrm{cd}\;u = \frac{\mathrm{cn}\;u}{\mathrm{dn}\;u}$

Kaikille funktioille voidaan kirjoittaa käänteisfunktio periaatteella

$\mathrm{sn}^{-1}\;u = \mathrm{ns}\;u = \frac{1}{\mathrm{sn}\;u}$

Yhteys trigonometrisiin ja hyperbolisiin funktioihin

Jacobin elliptisillä funktioilla on yhteys sekä trigonometrisiin funktioihin että hyperbolisiin funktioihin elliptisen modulin $k$ kautta ja elliptisiä funktioita voidaan pitää näiden alkeisfunktioiden kaksijaksoisina yleistyksinä. Trigonometrisiin funktioihin ovat voimassa relaatiot

$\mathrm{sn}(x,0) = \sin x\,$

$\mathrm{cn}(x,0) = \cos x\,$

$\mathrm{dn}(x,0) = 1\,$

ja hyperbolisiin funktioihin

$\mathrm{sn}(x,1) = \mathrm{tanh}\; x\,$

$\mathrm{cn}(x,1) = \mathrm{dn}(x,1) = \mathrm{sech}\; x\,$

Esiintyminen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuna

Jacobin elliptiset funktiot ratkaisevat eräitä epälineaarisia differentiaaliyhtälöitä. Näiden yhtälöiden yleinen muoto on

$\frac{d^2y}{dx^2} = A + By + Cy^2 + Dy^3$,

missä A, B, C ja D ovat vakioita. Esimerkiksi funktio $y = \mathrm{sn}(x,k)\,$ toteuttaa yhtälöt

$\frac{d^2y}{dx^2} + (1 + k^2)y - k^2y^3 = 0\;$ sekä

$(\frac{dy}{dx})^2 - (1 - y^2)(1 - k^2y^2) = 0$.

Funktio $y = \mathrm{cn}(x,k)\,$ toteuttaa yhtälöt

$\frac{d^2 y}{dx^2} + (1 - 2k^2)y + 2k^2y^3 = 0\;$ sekä

$(\frac{dy}{dx})^2 -(1 - y^2)(1 - k^2 + k^2y^2) = 0$

ja funktio $y = \mathrm{dn}(x,k)\,$ toteuttaa yhtälöt

$\frac{d^2y}{dx^2} - (2 - k^2)y + 2y^3 = 0\;$ sekä

$(\frac{dy}{dx})^2 -(y^2 - 1)(1 - k^2 - y^2) = 0$

Katso myös

• Elliptiset funktiot
• Weierstrassin elliptiset funktiot

Aiheesta muualla

• Jacobin elliptiset funktiot Mathworldissa (englanniksi)