Weierstrassin elliptinen funktio

Weierstrassin elliptinen funktio meromorfinen funktio, joka on yksinkertaisin esimerkki elliptisestä funktiosta. Erotuksena Jacobin elliptisistä funktioista, Weierstrassin elliptisellä funktiolla on kussakin perussuunnikkaassaan vain yksi kaksinkertainen napa. Funktio on nimetty saksalaisen matemaatikon, Karl Weierstrassin mukaan.

$\wp(z) = \frac{1}{z^2} + \sum_{m,n>0} \frac{1}{(z - 2m\omega_1 - 2n\omega_2)^2} - \frac{1}{(2m\omega_1 + 2n\omega_2)^2}$,

missä $\omega_1$ ja $\omega_2$ ovat funktion jaksot ja $\omega_1/\omega_2 \notin \mathbb{R}$. Usein merkitään $\Omega_{nm} = m2\omega_1 + n2\omega_2$, jolloin $\Omega_{nm}/2$ on funktion perussuunnikas. Funktion derivaatalle saadaan lauseke

$\wp'(z) = -2\sum_{m,n\ge 0} \frac{1}{(z - 2m\omega_1 + 2n\omega_2)^3}$,

joka on selvästi pariton funktio, eli $\wp'(-z) = -\wp'(z)$. Myös $\wp(z)$ itse on pariton. Koska Weierstrassin funktio on kaksijakoinen,

$\begin{cases} \wp(x + 2\omega_1) = \wp(x)\\ \wp(y + 2\omega_2) = \wp(y) \end{cases}$.

Weierstrassin elliptinen funktio toteuttaa differentiaaliyhtälön

$(\wp')^2 = 4(\wp(z))^3 - g_2 \wp(z) - g_3$.

Merkitsemällä $x = \wp(z)$ ja $y = \wp'(z)$ nähdään, että tämä differentiaaliyhtälö on elliptinen käyrä. Yhtäpitävästi voidaan kirjoittaa myös integraaliesitys

$z = \int_{\wp(z)}^\infty \sqrt{4t^2 - g_2t -g_3}\;dt$.

Kaavoja

• Summakaava

$\wp(z + y) = \frac{1}{4}\Big(\frac{\wp'(z) - \wp'(y)}{\wp(z) - \wp(y)}\Big)^2 - \wp(z) - \wp(y)$

• Argumentin kaksinkertaistuskaava saadaan helposti summakaavasta

$\wp(2z) = \frac{1}{4}\Big(\frac{\wp''(z)}{\wp'(z)}\Big)^2 - 2\wp(z)$

• Origon lähellä funktiota voidaan approksimoida Laurentin sarjalla

$\wp(z) = \frac{1}{z^2} + \frac{1}{20}g_2z^2 + \frac{1}{28}g_3z^4 + \mathcal{O}(z^6)$

$\wp'(z) = -\frac{2}{z^3} + \frac{1}{10}g_2z + \frac{1}{7}g_3z^3 + \mathcal{O}(z^5)$

Aiheesta muualla

• Weierstrassin elliptinen funktio MathWorldissa (englanniksi)