Hilbertin aksioomat

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Hilbertin aksioomat ovat matemaatikko David Hilbertin vuonna 1899 julkaisema tasogeometrian aksioomajärjestelmä, joka käsittää 20 (alun perin 21) oletusta eli aksioomaa.

Aksioomat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

(H1) Jos P ja Q ovat eri pisteitä, on olemassa yksi ja vain yksi suora, joka kulkee sekä P:n että Q:n kautta.

(H2) Jokaiseen suoraan sisältyy vähintään kaksi eri pistettä.

(H3) On olemassa kolme eri pistettä siten, että mikään suora ei kulje niiden kaikkien kautta.

• Merkitään A*B*C tarkoittamaan, että piste B sijaitsee A:n ja C:n välissä.

(H4) Jos A*B*C, niin A, B ja C ovat eri pisteitä samalla suoralla ja C*B*A.

(H5) Jos A ja B ovat eri pisteitä, suoralla \mathop{\stackrel{\longleftrightarrow}{AB}} on pisteet C, D ja E siten, että C*A*B, A*D*B ja A*B*E.

(H6) Jos A, B ja C ovat eri pisteitä samalla suoralla, niin yksi ja vain yksi seuraavista ehdoista on voimassa:

A*B*C, \quad A*C*B\mbox{ tai } \quad B*A*C.

(H7) Olkoot l suora sekä A, B ja C pisteitä, jotka eivät ole suoralla l. Tällöin on voimassa:

(i) jos A ja B ovat samalla puolella suoraa l sekä B ja C ovat samalla puolelle suoraa l,niin A ja C ovat samalla puolella suoraa l ja

(ii) jos A ja B ovat eri puolilla suoraa l sekä B ja C ovat eri puolilla suoraa l, niin A ja C ovat samalla puolilla suoraa l.

(H8) Jos A ja B ovat eri pisteitä ja \mathop{\stackrel{\longrightarrow}{PQ}} on mielivaltainen puolisuora, on olemassa yksi ja vain yksi piste R\in \mathop{\stackrel{\longrightarrow}{PQ}} siten, että AB\cong PR.

(H9) Janojen yhtenevyys on ekvivalenssirelaatio.

(H10) Jos A*B*C, A'*B'*C', AB\cong A'B' ja BC\cong B'C', niin AC\cong A'C'.

(H11) Olkoon \angle ABC kulma, \mathop{\stackrel{\longrightarrow}{DE}} puolisuora ja P piste, joka ei sisälly suoraan \mathop{\stackrel{\longleftrightarrow}{DE}}. Silloin on olemassa yksi ja vain yksi puolisuora \mathop{\stackrel{\longrightarrow}{DF}} siten, että FP\mathop{\stackrel{\longleftrightarrow}{DE}} ja \angle ABC\cong \angle FDE.

(H12) Kulmien yhtenevyys on ekvivalenssirelaatio.

(H13) Olkoot \triangle ABC ja \triangle DEF kolmioita siten, että \angle A\cong \angle D, AB\cong DE ja AC\cong DF. Tällöin \triangle ABC\cong \triangle DEF.

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]