Hilbertin aksioomat

Wikipedia

Sivulta puuttuu ensiarviointi. Tämä ilmoitus näytetään vain seulojille.

Loikkaa: valikkoon, hakuun

Hilbertin aksioomat ovat matemaatikko David Hilbertin vuonna 1899 julkaisema tasogeometrian aksioomajärjestelmä, joka käsittää 20 (alun perin 21) oletusta eli aksioomaa.

[muokkaa] Aksioomat

(H1) Jos $P$ ja $Q$ ovat eri pisteitä, on olemassa yksi ja vain yksi suora, joka kulkee sekä $P$ :n että $Q$ :n kautta.

(H2) Jokaiseen suoraan sisältyy vähintään kaksi eri pistettä.

(H3) On olemassa kolme eri pistettä siten, että mikään suora ei kulje niiden kaikkien kautta.

• Merkitään A*B*C tarkoittamaan, että piste B sijaitsee A:n ja C:n välissä.

(H4) Jos $A*B*C$ , niin $A$ , $B$ ja $C$ ovat eri pisteitä samalla suoralla ja $C*B*A$ .

(H5) Jos $A$ ja $B$ ovat eri pisteitä, suoralla $\mathop{\stackrel{\longleftrightarrow}{AB}}$ on pisteet $C$ , $D$ ja $E$ siten, että $C*A*B$ , $A*D*B$ ja $A*B*E$ .

(H6) Jos $A$ , $B$ ja $C$ ovat eri pisteitä samalla suoralla, niin yksi ja vain yksi seuraavista ehdoista on voimassa:

$A*B*C, \quad A*C*B\mbox{ tai } \quad B*A*C.$

(H7) Olkoot $l$ suora sekä $A$ , $B$ ja $C$ pisteitä, jotka eivät ole suoralla $l$ . Tällöin on voimassa:

(i) jos $A$ ja $B$ ovat samalla puolella suoraa $l$ sekä $B$ ja $C$ ovat samalla puolelle suoraa $l$ ,niin $A$ ja $C$ ovat samalla puolella suoraa $l$ ja

(ii) jos $A$ ja $B$ ovat eri puolilla suoraa $l$ sekä $B$ ja $C$ ovat eri puolilla suoraa $l$ , niin $A$ ja $C$ ovat samalla puolilla suoraa $l$ .

(H8) Jos $A$ ja $B$ ovat eri pisteitä ja $\mathop{\stackrel{\longrightarrow}{PQ}}$ on mielivaltainen puolisuora, on olemassa yksi ja vain yksi piste $R\in \mathop{\stackrel{\longrightarrow}{PQ}}$ siten, että $AB\cong PR$ .

(H9) Janojen yhtenevyys on ekvivalenssirelaatio.

(H10) Jos $A*B*C$ , $A'*B'*C'$ , $AB\cong A'B'$ ja $BC\cong B'C'$ , niin $AC\cong A'C'$ .

(H11) Olkoon $\angle ABC$ kulma, $\mathop{\stackrel{\longrightarrow}{DE}}$ puolisuora ja $P$ piste, joka ei sisälly suoraan $\mathop{\stackrel{\longleftrightarrow}{DE}}$ . Silloin on olemassa yksi ja vain yksi puolisuora $\mathop{\stackrel{\longrightarrow}{DF}}$ siten, että $FP\mathop{\stackrel{\longleftrightarrow}{DE}}$ ja $\angle ABC\cong \angle FDE$ .

(H12) Kulmien yhtenevyys on ekvivalenssirelaatio.

(H13) Olkoot $\triangle ABC$ ja $\triangle DEF$ kolmioita siten, että $\angle A\cong \angle D$ , $AB\cong DE$ ja $AC\cong DF$ . Tällöin $\triangle ABC\cong \triangle DEF$ .