Geronon lemniskaatta

Geronon lemniskaatta, jolla a=1

Geronon lemniskaatta, Huygensin lemniskaatta eli kahdeksikkokäyrä (engl. Eight Curve) on algebrallisessa geometriassa eräs lemniskaattojen ryhmään kuuluva neljännen asteen käyrä. Se muistuttaa muodoltaan numeroa 8 tai äärettömän merkkiä $\infty$, ja sen yhtälö on

$x^{4}=a^{2}(x^{2}-y^{2})$

Sitä tutki Camille-Christophe Gerono.

Koska käyrän geometrinen genus on nolla, se voidaan parametroida rationaalifunktioilla, esimerkiksi seuraavasti:

$x={\frac {t^{2}-1}{t^{2}+1}},\ y={\frac {2t(t^{2}-1)}{(t^{2}+1)^{2}}}.$

Vaihtoehtoisesti se voidaan parametroida myös seuraavasti:

$x=a\cos \varphi ,\ y=a\sin \varphi \,\cos \varphi =\sin(2\varphi )/2$.

Kuten tästä ilmenee, Geronon lemniskaatta on samalla myös Lissajous'n käyrän erikoistapaus. Käyrän yhtälö napakoordinaateissa on

$r^{2}=a^{2}\cos {(2\theta )}\sec ^{4}{(\theta )}$.

Geronon lemniskaatan sisään jäävän alueen pinta-ala on

$A={\frac {4}{3}}a^{2}$

Geronon lemniskaatan duaalikäyrä, joka voidaan muodostaa Plückerin kaavalla ja joka on alla olevassa kuvassa, on muodoltaan varsin toisenlainen. Sen yhtälö on

$(x^{2}-y^{2})^{3}+8y^{4}+20x^{2}y^{2}-x^{4}-16y^{2}=0.$

Geronon lemniskaatta

Lähteet

• J. Dennis Lawrence: A catalog of special plane curves, s. 124. Dover Publications, 1972. ISBN 0-486-60288-5.