Evolventti

Puolikuutiollinen paraabeli (musta) ja sen evolventin, paraabelin (punainen) konstruointi ajatellun nuoran avulla, joka ensin taivutetaan käyrän mukaiseksi ja sitten erotetaan siitä.

Paraabeli ja kaksi sen evolventtia (punaiset)

Annetun käyrän evolventti eli involuutta on annetun käyrän tangenttien kohtisuora leikkaaja, toisin sanoen käyrä, jonka evoluutta eli kaarevuuskeskipisteiden muodostama ura on alkuperäinen käyrä. Annetun käyrän evolventti voidaan muodostaa siten, että ajatellaan käyrälle asetetuksi venymätön lanka, jota puretaan pingottamalla sitä joka hetki käyrän tangentin suuntaan. Langan toinen pää piirtää tällöin alkuperäisen käyrän evolventin.

Annetulla käyrällä on vain yksi evoluutta, mutta äärettömän monta evolventtia. Ne ovat toistensa rinnakkaiskäyriä, toisin sanoen niiden välinen etäisyys on kaikkialla sama.

Evolventin yleistyksinä voidaan pitää vierintäkäyriä. Käyrän evolventit ovat sille suoran avulla muodostettuja vierintäkäyriä.

Parametroidun käyrän evolventti

Olkoon ${\vec {c}}(t)=(x(t),y(t),\;t\in [t_{1},t_{2}]$ sellaisen säännöllisen tasokäyrän parametriesitys, jonka kaarevuus ei ole missään nolla, ja a jokin luku välillä $t_{1}<a<t_{2}$. Silloin käyrän erään evolventin parametriesitys on

${\vec {C}}_{a}(t)={\vec {c}}(t)-{\frac {{\vec {c}}'(t)}{|{\vec {c}}'(t)|}}\;\int _{a}^{t}|{\vec {c}}'(w)|\;dw$

Tämä voidaan todistaa seuraavasti:

Evolventin muodostamiseen käytetty lanka muodostuu kahdesta osasta, joista toinen on käyrän ${\vec {c}}(t)$ kaari, toinen sen tangentti. Kun sitä kierretään auki tai kokoon, tangentin pituus kasvaa saman verran kuin kaaren pituus pienenee tai päinvastoin. Käyrän väiä $[a,t]$ vastaavan osuuden pituus on $\int _{a}^{t}|{\vec {c}}'(w)|\;dw$

missä a on alkupiste, josta kaaren pituus mitataan. Sitä langan osuutta, joka kulkee käyrän tangenttia pitkin, vastaa vektori

${\frac {{\vec {c}}'(t)}{|{\vec {c}}'(t)|}}\;\int _{a}^{t}|{\vec {c}}'(w)|\;dw$

Langan päätepistettä (${\vec {V}}_{a}(t)$ vastaava vektori saadaan vektorien yhteenlaskun avulla: ${\vec {C}}_{a}(t)={\vec {c}}(t)-{\frac {{\vec {c}}'(t)}{|{\vec {c}}'(t)|}}\;\int _{a}^{t}|{\vec {c}}'(w)|\;dw$ m.o.t.

Jos integraaliin $\int {\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}dt$ lisätään mielivaltainen vakio $l_{0}$, saadaan samalle käyrälle toinen evolventti, joka vastaa sellaista lankaa, joka on vakion $l_{0}$ verran alkuperäistä pitempi.

Jos vektori ${\vec {c}}(t)$ esitetään muodossa ${\vec {c}}(t)=(x(t),y(t))^{T}$, saadaan:

${\begin{aligned}X(t)&=x(t)-{\frac {x'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}\int _{a}^{t}{\sqrt {x'(w)^{2}+y'(w)^{2}}}\,dw\\Y(t)&=y(t)-{\frac {y'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}\int _{a}^{t}{\sqrt {x'(w)^{2}+y'(w)^{2}}}\,dw\;.\end{aligned}}$

Evolventin ominaisuuksia

Evolventin ominaisuuksia. Merkityt kulmat ovat suoria.

Säännöllisen käyrän ominaisuuksia tutkittaessa on edullista käyttää parametrina sen kaaren pituutta s. Tällöin edellä oleviin yhtälöihin saadaan seuraavat yksinkertaistukset: $\;|{\vec {c}}'(s)|=1\;$ ja $\;{\vec {c}}''(s)=\kappa (s){\vec {n}}(s)\;$, missä $\kappa$ on käyrän kaarevuus ${\vec {n}}$ sitä vastaan kohtisuora yksikkövektori. Evolventille saadaan lausekkeet

${\vec {C}}_{a}(s)={\vec {c}}(s)-{\vec {c}}'(s)(s-a)\$ and

${\vec {C}}_{a}'(s)=-{\vec {c}}''(s)(s-a)=-\kappa (s){\vec {n}}(s)(s-a)\;$

Voidaan todeta, että pisteessä ${\vec {C}}_{a}(a)$ evolventti ei ole säännöllinen, sillä $|{\vec {C}}_{a}'(a)|=0$.

Siitä, että $\;{\vec {C}}_{a}'(s)\cdot {\vec {c}}'(s)=0\;$, seuraa:

• Evolventin normaali pisteessä ${\vec {C}}_{a}(s)$ on annetun pisteen tangentti pisteessä ${\vec {c}}(s)$.
• Saman käyrän evolventit ovat rinnakkaisia käyriä, koska ${\vec {C}}_{a}(s)={\vec {C}}_{0}(s)+a{\vec {c}}'(s)$ ja ${\vec {c}}'(s)$ in evolventin yksikkönormaalivektori pisteessä ${\vec {C}}_{0}(s)$.

Alkuperäisen käyrän evolventit ja tangentit muodostavat suorakulmaisen koordinaattijärjestelmän Näin ollen evolventit voidaan muodostaa graafisesti. Piirretään ensin käyrän tangentit. Tällöin käyrän mielivaltainen evolventti voidaan konstruoida siten, että se on kohtisuorassa jokaista tangenttia vastaan.

Kärjet

Evolventeilla on kahdenlaisia kärkipisteitä. Ensimmäisen tyypin muodostavat pisteet, joissa evolventti koskettaa alkuperäistä käyrää. Sellaiset kärkipisteet ovat kertalukua 3/2. Toisen ryhmän muodostavat pisteet, jotka vastaavat alkuperäisen käyrän käännepisteitä. Ne ovat kertaluvun 5/2 kärkipisteitä.

Tämä voidaan nähdä muodostamalla kuvaus $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}$, jonka määrittelee yhtälö

$$(s,t)\mapsto (x(s)+t\cos(\theta ),y(s)+t\sin(\theta ),t)$$

missä $(x(s),y(s))$ on kaaren pituuden mukainen käyrän parametriesitys ja $\theta$ käyrän kaltevuuskulma pisteessä$(x(s),y(s))$. Tämä kuvaus kuvaa tason jollekin kolmiulotteisessa avaruudessa olevalle pinnalle. Esimerkiksi se kuvaa ympyrän yksivaippaiselle hyperboloidille.

Tässä kuvauksessa evolventit saadaan kolmivaiheisessa prosessissa: ensin kuvataan suora $\mathbb {R}$ tasoon $\mathbb {R} ^{2}$, joka sitten kuvataan avaruudessa $\mathbb {R} ^{3}$ olevalle pinnalle, joka sitten projisoidaan takaisin tasoon $\mathbb {R} ^{2}$ poistamalla x-akseli:

$$s\mapsto (s,l-s)\mapsto f(s,l-s)\mapsto (f(s,l-s)_{x},f(s,l-s)_{y})$$

missä $l$ on mikä tahansa reaalinen vakio.

Koska kuvauksella $s\mapsto f(s,l-s)$ on derivaatta jokaisessa pisteessä $s\in \mathbb {R}$ eikä sen derivaatta missään ole nolla, evolventilla voi olla kärkipiste vain siellä, missä $s\mapsto f(s,l-s)$:n derivaatta on pystysuora (z-akselin suuntainen), ja se on mahdollista vain siellä, missä edellä mainitulla, avaruudessa $\mathbb {R} ^{3}$ olevalla pinnalla on pystysuora tangenttitaso. Tällä pinnalla taas on pystysuora tangenttitaso vain siellä, missä pinta koskettaa käyrää tai missä käyrällä on käännepiste.

Asteluvun 3/2 kärkipisteet

Tarkastellaan esimerkkinä aluksi ympyrän evolventtia, jonka yhtälö on

$${\begin{aligned}X(t)&=r(\cos t+(t-a)\sin t)\\Y(t)&=r(\sin t-(t-a)\cos t)\end{aligned}}$$

then set $a=0$, ja laajennetaan sitä pienellä määrällä $t$, jolloin saadaan

$${\begin{aligned}X(t)&=r+rt^{2}/2+O(t^{4})\\Y(t)&=rt^{3}/3+O(t^{5})\end{aligned}}$$

jolloin saadaan astelukua 3/2 oleva käyrä thus giving the order 3/2 curve $Y^{2}-{\frac {8}{9r}}(X-r)^{3}+O(Y^{8/3})=0$, puolikuutiollinen paraabeli.

Kertluvun 5/2 kärkipisteet

Kuutioparaabelin $y=x^{3}$ tangentit ja evolventit. Asteluvun 3/2 kärkipisteet ovat käyrällä, asteluvun 5/2 kärkipisteet taas x-akselilla, joka on samalla alkuperäisen käyrän ainoaan käännepisteeseen piirretty tangentti.

Tarkastellaan esimerkkinä käyrää $y=x^{3}$. Sen pisteiden $x=0$ ja $x=s$ välisen kaaren pituus on $\int _{0}^{s}{\sqrt {1+(3t^{2})^{2}}}dt=s+{\frac {9}{10}}s^{5}-{\frac {9}{8}}s^{9}+O(s^{13})$, ja sen pisteeseen $x=s$ piirretyn tangentin ja x-akselin välinen kulma on $\theta =\arctan(3s^{2})$. Niinpä käyrän evolventilla, joka alkaa pisteestä $x=0$, on etäisyydellä $L$ parametriesitys

$${\begin{cases}x(s)=s+(L-s-{\frac {9}{10}}s^{5}+\cdots )\cos \theta \\y(s)=s^{3}+(L-s-{\frac {9}{10}}s^{5}+\cdots )\sin \theta \end{cases}}$$

Jos nämä lausekkeet kehitetään viidennen asteen termeihin saakka, saadaan

$${\begin{cases}x(s)=L-{\frac {9}{2}}Ls^{4}+({\frac {9}{2}}L-{\frac {9}{10}})s^{5}+O(s^{6})\\y(s)=3Ls^{2}-2s^{3}+O(s^{6})\end{cases}}$$

mikä esittää asteluvun 5/2 kärkipistettä. Molemmat yhtälöt toteutuvat sellaisilla x:n ja y:n arvoilla, joille

$$\left(x-L+{\frac {y^{2}}{2L}}\right)^{2}-\left({\frac {9}{2}}L+{\frac {51}{10}}\right)^{2}\left({\frac {y}{3L}}\right)^{5}+O(s^{11})=0$$

tai

$$x=L-{\frac {y^{2}}{2L}}\pm \left({\frac {9}{2}}L+{\frac {51}{10}}\right)\left({\frac {y}{3L}}\right)^{2.5}+O(y^{2.75}),\quad \quad y\geq 0$$

,

mitkä yhtälöt selvästi osoittavat kärjen muodon.

Asettamalla $L=0$ saadaan origon kautta kulkeva evolventti. Se on siitä erikoinen, ettei sillä ole kärkipisteitä. Sarjakehitelmien avulla sille saadaan parametriesitys

$${\begin{cases}x(s)={\frac {18}{5}}s^{5}-{\frac {126}{5}}s^{9}+O(s^{13})\\y(s)=-2s^{3}+{\frac {54}{5}}s^{7}-{\frac {318}{5}}s^{11}+O(s^{15})\end{cases}}$$

or $x=-{\frac {18}{5\cdot 2^{1/3}}}y^{5/3}+O(y^{3})$

Esimerkkejä

Ympyrän evolventti

Ympyrän evolventit

Origokeskeisellä r-säteisellä ympyrällä on parametriesitys $(r\cos(t),r\sin(t))$, joka voidaan esittää myös vektorimuodossa: ${\vec {c}}'(t)=(-r\sin t,r\cos t)$. Niinpä $|{\vec {c}}'(t)|=r$, ja kaaren pituus on $r(t-a)$.

Edellä esitetyistä evolventin yleisistä yhtälöistä saadaan ympyrän evolventeille parametriesitys

${\begin{aligned}X(t)&=r(\cos(t+a)+t\sin(t+a))\\Y(t)&=r(\sin(t+a)-t\cos(t+a))\end{aligned}}$.

Näissä $a$ on mielivaltainen vakio, joka määrittää sen, mistä kohdasta ympyrällä evolventti alkaa. Oheiseen kuvioon on ympyrälle piirretty arvoja $a=-0.5$ (vihreä), $a=0$ (punainen), $a=0.5$ (violetti) ja $a=1$ (vaaleansininen) vastaavat evolventit.

Ympyrän evolventti ei ole sama kuin Arkhimedeen spiraali, vaikka muistuttaakin sitä ulkonäöltään huomattavasti. Suurella t:n arvolla ympyrän evolventti kuitenkin lähestyy asymptoottisesti Arkhimedeen spiraalia.

Jokaisella evolventilla väliä $0\leq t\leq t_{2}$ vastaavan kaaren pituus on

$L={\frac {r}{2}}t_{2}^{2}.$

Puolikuutiollisen paraabelin (sininen) evolventit. Vain punaisella merkitty käyrä on paraabeli. Käyrän evolventit ja tangentit muodostavat suorakulmaisen koordinaattijärjestelmän, mikä pätee yleisestikin.

Puolikuutiollisen paraabelin evolventti

Parametriyhtälö ${\vec {c}}(t)=({\tfrac {t^{3}}{3}},{\tfrac {t^{2}}{2}})$ esittää puolikuutiollista paraabelia. Derivaatasta ${\vec {c}}'(t)=(t^{2},t)$ saadaan $|{\vec {c}}'(t)|=t{\sqrt {t^{2}+1}}$ ja $\int _{0}^{t}w{\sqrt {w^{2}+1}}\,dw={\frac {1}{3}}{\sqrt {t^{2}+1}}^{3}-{\frac {1}{3}}$. Siinä erikoistapauksessa, että lankaa pidennetään $l_{0}={1 \over 3}$:n verran, laskut yksinkertaistuvat huomattavasti ja saadaan:

${\begin{aligned}X(t)&=-{\frac {t}{3}}\\Y(t)&={\frac {t^{2}}{6}}-{\frac {1}{3}}.\end{aligned}}$

Eliminoimalla tästä t saadaan $Y={\frac {3}{2}}X^{2}-{\frac {1}{3}},$, mikä osoittaa, että tämä evolventti on paraabeli.

Muut evolventit ovat paraabelin rinnakkaiskäyriä. Ne eivät ole paraabeleja vaan kuudennen asteen käyriä.

Ketjuviivan (punainen) evolventti on traktrix (sininen).

Ketjuviivan evolventti

Ketjuviivalla on parametriesitys $(t,\cosh t)$. Sen tangenttivektori on ${\vec {c}}'(t)=(1,\sinh t)$, ja koska $1+\sinh ^{2}t=\cosh ^{2}t,$, sen pituus on $|{\vec {c}}'(t)|=\cosh t$. Niinpä kaaren pituus pisteestä (0,1) pisteeseen (t, \cosh t) on $\textstyle |\int _{0}^{t}\cosh w\,dw|=|\sinh t|$.

Niinpä pisteestä (0,1) alkavalla ketjuviivan evolventilla on parametriesitys

$(t-\tanh t,1/\cosh t),$

ja näin ollen se on traktrix.

Ketjuviivan muut evolventit eivät ole traktrixeja, vaan ne ovat traktrixin paralleelikäyriä.

Sykloidin evolventit

Sykloidin (sininen) evolventit. Näistä vain punaisella merkitty käyrä on toinen sykloidi.

Parametriesitys ${\vec {c}}(t)=(t-\sin t,1-\cos t)$ kuvaa sykloidia. Koska sen tangenttivektori on ${\vec {c}}'(t)=(1-\cos t,\sin t)$, saadaan tästä trigonometristen funktioiden muunnoskaavojen avulla:

$|{\vec {c}}'(t)|=2\sin {\frac {t}{2}},$

ja

$\int _{\pi }^{t}2\sin {\frac {w}{2}}\,dw=-4\cos {\frac {t}{2}}.$

Näistä yhtälöistä saadaan evolventin parametriesitykseksi

$X(t)=t+\sin t,$

$Y(t)=3+\cos t,$

joka esittää oheisessa kuviossa punaisella merkittyä sykloidia.

Sykloidin $(t-\sin t,1-\cos t)$ muut evolventit ovat sykloidin paralleelikäyriä, jotka eivät ole sykloideja.

Evoluutta ja evolventti

Annetun käyrän evoluutta on sen kaarevuuskeskipisteiden ura. Evoluutan ja evolventin välillä vallitsee seuraava yhteys: käyrä on jokaisen evolventtinsa evoluutta.

Evolventti ja evoluutta

Traktrix (punainen) ketjuviivan evolventtina

Traktrixin evoluutta on ketjuviiva.

Sovelluksia

Kaksi hammaspyörää, joiden hampaiden poikkileikkaus on ympyrän evoluutta. Siniset nuolet osoittavat niiden väliset kosketusvoimat: (1) vasemmanpuoleiseen pyörään kohdistuva alaspäin vaikuttava voima ja (2) oikeanpuoleiseen pyörään kohdistuvat ylöspäin vaikuttava voima. Voimien vaikutussuora on merkitty sinisellä katkoviivalla, ja se on molempien hammaspyörien ympyränmuotoisen keskiosan tangentti.

Hammaspyörien hampaat tehdään tavallisimmin poikkileikkaukseltaan ympyrän evoluutan muotoisiksi, joskin myös sykloidin muotoisia hammaspyöriä käytetään. Kahden sellaisen hammaspyörän systeemissä pyörien hampaat koskettavat toisiaan joka hetki vai yhdessä pisteessä, joka on voimien kunkin hetkisellä vaikutussuoralla. Pyörien toisiinsa kohdistamat voimat ovat myös tämän suoran suuntaisia ja hampaiden pintoihin nähden kohtisuorassa. Jos hampaat ovat muun muutoksia, pyörien suhteelliset nopeudet ja niiden väliset eivät pysy vakioina vaan vaihtelevat edestakaisin välillä pieneten, mistä aiheutuu tärinää, häiritsevää ääntä ja ylimääräistä kulumista.

Scroll-kompressorin toiminta

Kaasujen puristukseen käytetyissä scroll-kompressoreissa paine tuotetaan kahdella kierukalla, jotka tehdään ympyrän evolventin muotoisiksi, joskin ne voivat olla myös Arkhimedeen spiraalin tai hybridikäyrän muotoisia. Scroll-kompressorit toimivat tasaisemmin, äänettömämmin ja luotettavamin kuin muun tyyppiset kompressorit.

HFIR-isotooppireaktoreissa (High Flux Isotope Reactor) polttoainelevyt tehdään ympyrän evolventin muotoisiksi, koska silloin levyjen väliset laudutuskanavat saadaan vakiolevyisiksi.<ref>Oak Ridge National Laboratories: ”Reactor Core Assembly”, High Flux Isotope Reactor (HFIR) User Guide, s. 5. U. S. Department of Energy, 2015. Teoksen verkkoversio.