Sykloidi

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Vierivän ympyrän muodostama sykloidi.

Sykloidi on käyrä, jonka muodostavat pyörän pinnalla olevan pisteen sijainnit eri ajanhetkinä, kun pyörä vierii suoraan tasaisella alustalla.

Sykloidi on samalla brakistokroni eli käyrä, jota pitkin kappale nopeimmin vierii huipulta alas painovoiman vaikutuksesta. Samalla se on tautokroni, mikä merkitsee, että aika, jossa sen sisäpintaa pitkin vierivä, alkutilassa lepotilassa jossakin sen pisteessä oleva pallo saavuttaa käyrän alimman kohdan, ei riipu sen alkuperäisestä paikasta.

Historia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sykloidia tutki ensimmäisenä Nicholas of Cusa ja myöhemmin Marin Mersenne. Nimen sille antoi Galileo Galilei vuonna 1599. Vuonna 1634 G.P. de Roberval todisti, että sykloidin alle jäävän alueen pinta-ala on kolme kertaa niin suuri kuin sen ympyrän, jonka vieriessä se muodostuu. Vuonna 1658 Christopher Wren osoitti, että sykloidin pituus on neljä kertaa niin suuri kuin sen muodostavan ympyrän läpimitta. Sykloidia on sanottu "Geometrian Helenaksi", ja 1600-luvun matemaatikot kävivät paljon siihen liittyviä kiistoja.

Yhtälöt[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ympyrän generoima sykloidi, kun ympyrän säde on r = 2

Origon kautta kulkeva sykloidi, jonka r-säteinen ympyrä muodostaa vieriessään, muodostuu pisteistä (x, y), jotka toteuttavat ehdot:

x = r(t - \sin t)\,
y = r(1 - \cos t)\,

missä parametri t on reaaliluku. Parametrin t voidaan käsittää tarkoittavan aikaa, jolloin vierivän ympyrän keskipiste hetkellä t on pisteessä rt.

Edellä trigonometriset funktiot on määritelty käyttämällä kulmayksikkönä radiaania. Jos kulmayksikkönä käytetään astetta, yhtälöt on kirjoitettava muotoon

x = a(cos(270°-t)) + 2πrt/360°

y = a(sin(270°-t)) + r

Käyrä on derivoituva muualla paitsi erikoispisteissä, joissa se kohtaa x-akselin. Niissä sykloidilla on terävä kärki, ja niitä lähestyttäessä derivaatta kasvaa rajatta \infty:ään tai -\infty:ään riippuen siitä, kummasta suunnasta erikoispistettä lähestytään. Sykloidi toteuttaa myös differentiaaliyhtälön

\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \frac{2r-y}{y}.

Pinta-ala[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

r-säteisen ympyrän generoiman sykloidin kaari voidaan parametroida näin:

x = r(t - \sin t),\,
y = r(1 - \cos t),\,

missä

0 \le t \le 2 \pi.\,

Koska

\frac{dx}{dt} = r(1- \cos t),

on sykloidin kaaren alla olevan alueen pinta-ala

A=\int_{t=0}^{t=2 \pi} y \, dx = \int_{t=0}^{t=2 \pi} r^2(1-\cos t)^2 \, dt
=\left.  r^2 \left( \frac{3}{2}t-2\sin t + \frac{1}{2} \cos t \sin t\right) \right|_{t=0}^{t=2\pi}
=3 \pi r^2.

Kaaren pituus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sykloidin kaaren pituus S voidaan laskea seuraavasti:

\int_{0}^{2 \pi} \left(\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dx}{dt}\right)^2\right)^{1/2}\, dt=\int_{0}^{2 \pi} 2r \sin(t/2) \, dt = 8r.


Sykloidia muistuttavia käyriä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Episykloidi on käyrä, joka muodostuu ympyrän vieriessä toisen ympyrän kehää pitkin sen ulkopuolella. Hyposykloidi taas muodostuu ympyrän vieriessä toisen ympyrän kehää pitkin sen sisäpuolella. Vastaavasti voidaan muodostaa käyriä ympyrän vieriessä minkä tahansa muutakin käyrää pitkin.

Syklodilla, episykloidilla ja hyposykloidilla on se yhteinen ominausuus, että kukin niistä on yhdenmuotoinen evoluuttansa kanssa.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • D. Wells: The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, s. pp. 445–47. New York: Penguin Books, 1991. 0-14-011813-6. (englanniksi)

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]