Erdősin–Straussin konjektuuri

Erdősin–Straussin konjektuuri on Paul Erdősin ja E. G. Straussin esittämä egyptiläisiin murto­lukuihin liittyvä väittämä, jonka mukaan Diofantoksen yhtälöllä

${4\over n}={1\over a}+{1\over b}+{1\over c}$

on olemassa positiivisista kokonaisluvuista a, b ja c muodostuva kokonaislukuratkaisu kaikilla kokonaisluvuilla $n\geq 2$. Väittämän on osoitettu (A. Swett) pitävän paikkansa kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla $n\leq 10^{14}$.

Yleisyyttä rajoittamatta voidaan olettaa, että yllä olevassa esityksessä $a\leq b\leq c$.

Helposti todetaan, että kaikilla parillisilla luvun $n$ arvoilla

${4\over n}={1\over {n/2}}+{1\over n}+{1\over n}$.

Yleisemmin, jos alkuluvulla $p$ on esitys

${4\over p}={1\over a}+{1\over b}+{1\over c}$,

niin kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla $m$ on

${4\over mp}={1\over ma}+{1\over mb}+{1\over mc}$.

Mahdollisen pienimmän vastaesimerkin etsinnässä voidaan siis keskittyä tarkastelemaan luvun $n$ alkulukuarvoja.

Jos $n \equiv 2$ (mod $3$), voidaan käyttää esitystä

$\frac{4}{n} = \frac{1}{n} + \frac{1}{(n-2)/3+1} + \frac{1}{n((n-2)/3+1)}.$

Jos $n \equiv 3$ (mod $4$), on

$\frac{4}{n} = \frac{1}{(n+1)/4} + \frac{1}{(n^2+n+4)/4} + \frac{1}{n(n+1)(n^2+n+4)/16}.$

Jos $n \equiv 5$ (mod $8$), käytettävissä on esitys

$\frac{4}{n} = \frac{1}{(n+3)/4} + \frac{1}{n(n+3)/8} + \frac{1}{n(n+3)/4}.$

Jos $n \equiv 5$ (mod $12$), käytettävissä on esitys

$\frac{4}{n} = \frac{1}{(n+3)/4} + \frac{1}{n(n+7)/12} + \frac{1}{n(n+3)(n+7)/48}.$