Erdősin–Straussin konjektuuri

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Erdősin–Straussin konjektuuri on Paul Erdősin ja E. G. Straussin esittämä egyptiläisiin murto­lukuihin liittyvä väittämä, jonka mukaan Diofantoksen yhtälöllä

 {4\over n}={1\over a}+{1\over b}+{1\over c}

on olemassa positiivisista kokonaisluvuista a, b ja c muodostuva kokonaislukuratkaisu kaikilla kokonaisluvuilla n\geq 2. Väittämän on osoitettu (A. Swett) pitävän paikkansa kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla n\leq 10^{14}.

Yleisyyttä rajoittamatta voidaan olettaa, että yllä olevassa esityksessä a\leq b\leq c.

Helposti todetaan, että kaikilla parillisilla luvun n arvoilla

 {4\over n}={1\over {n/2}}+{1\over n}+{1\over n}.

Yleisemmin, jos alkuluvulla p on esitys

{4\over p}={1\over a}+{1\over b}+{1\over c},

niin kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla m on

{4\over mp}={1\over ma}+{1\over mb}+{1\over mc}.

Mahdollisen pienimmän vastaesimerkin etsinnässä voidaan siis keskittyä tarkastelemaan luvun n alkulukuarvoja.

Jos n \equiv 2 (mod 3), voidaan käyttää esitystä

\frac{4}{n} = \frac{1}{n} + \frac{1}{(n-2)/3+1} + \frac{1}{n((n-2)/3+1)}.

Jos n \equiv 3 (mod 4), on

\frac{4}{n} = \frac{1}{(n+1)/4} + \frac{1}{(n^2+n+4)/4} + \frac{1}{n(n+1)(n^2+n+4)/16}.

Jos n \equiv 5 (mod 8), käytettävissä on esitys

\frac{4}{n} = \frac{1}{(n+3)/4} + \frac{1}{n(n+3)/8} + \frac{1}{n(n+3)/4}.

Jos n \equiv 5 (mod 12), käytettävissä on esitys

\frac{4}{n} = \frac{1}{(n+3)/4} + \frac{1}{n(n+7)/12} + \frac{1}{n(n+3)(n+7)/48}.
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.