Carmichaelin luku

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Carmichaelin luvuksi kutsutaan lukuteoriassa sellaista yhdistettyä lukua n, joka toteuttaa ehdon

a^{n-1}\equiv 1\pmod{n}\,

jokaisella kokonaisluvulla a, kun a:n ja n:n suurin yhteinen tekijä on 1. Toisin sanoen Carmichaelin luvut ovat sellaisia kokonaislukuja, jotka ovat näennäisalkulukuja jokaisen kannan suhteen. Siitä seuraa se, että Carmichaelin lukua ei voi todeta yhdistetyksi luvuksi Fermat'n pienen lauseen avulla. Carmichaelin luvut on nimetty amerikkalaisen matemaatikon Robert Carmichaelin mukaan. Carmichaelin luvut ovat Knödelin luvut K1.

Jakauma[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Seuraavassa C(x) tarkoittaa lukua x pienempien Carmichaelin lukujen määrää.

Carmichaelin lukuja on äärettömästi, tämän todistivat ensimmäisenä matemaatikot William Alford, Andrew Granville ja Carl Pomerance vuonna 1994. He todistivat Carmichaelin lukujen määrälle seuraavan alarajan kaikille tarpeeksi suurille luvuille x ja kaikille \epsilon>0

C(x) \ge x^{(\beta-\epsilon)}, missä \beta=(1-(2\sqrt{e})^{-1})\frac{5}{12}=0,290306...>\frac{2}{7} eli C(x)>x^{\frac{2}{7}}.

Vuonna 2005 Glyn Harman todisti vahvemman tuloksen C(x)>x^{0,332}.

Paul Erdős todisti vuonna 1956 seuraavan ylärajan Carmichaelin lukujen määrälle: jollekin vakiolle k

C(x) < x \exp {\frac{- k \ln x \ln\ln\ln x}{\ln\ln x}}

Carmichaelin luvut ovat melko harvinaisia. Seuraavassa taulukossa on C(x):n arvo muutamille kymmenpotensseille:

n C(10n)
3 1
4 7
5 16
6 43
7 105
8 255
9 646
10 1547
11 3605
12 8241
13 19279
14 44706
15 105212
16 246683
17 585355
18 1401644
19 3381806
20 8220777

Carmichaelin lukujen ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Pariton, neliövapaa yhdistetty luku n on Carmichaelin luku, jos ja vain jos n jakaa Bernoullin luvun B_{n-1} nimittäjän.
  • Muotoa (6k + 1)(12k + 1)(18k + 1) olevat luvut ovat Carmichaelin lukuja, jos (6k + 1), (12k + 1) ja (18k + 1) ovat kaikki alkulukuja. Pienimmät sellaiset Carmichaelin luvut esiintyvät k:n arvoilla k = 1, 6, 35, 45, 51, 55, 56, 100, 121... (A046025 OEIS:ssä) ja ovat 1729, 294409, 56052361, 118901521... (A033502 OEIS:ssä).

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Helppotajuinen johdatus Alfordin ja kumppaneiden todistukseen on Matti K. Sinisalo: Carmichaelin lukujen konstruktioista, Esitelmä lukuteorian päivillä 1995 (PDF).