Bernoullin luku

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Bernoullin luvut ovat rationaalilukujono, jolla on suuri merkitys lukuteoriassa. Ensimmäiset Bernoullin luvut ovat

B0 = 1, B1 = ±12, B2 = 16, B3 = 0, B4 = −130, B5 = 0, B6 = 142, B7 = 0, B8 = −130.

On kaksi eri tapaa käsittää Bernoullin luvut, joko B1 on -12 tai 12. Ensimmäisessä tapuksessa on kysymyksessä ensimmäiset Bernoullin luvut ja jälkimmäisessä toiset Bernoullin luvut. Ensimmäiset ja toiset Bernoullin luvut eroavat vain termin B1 osalta. Koska Bernoullin luvut, joiden indeksi on pariton ja suurempi kuin 1 ovat nollia, käsitellään monesti vain lukuja B2n, joita joissakin teksteissä merkitään harhaanjohtavasti Bn, kun itse asiassa tarkoitetaan lukua B2n. Tämä voi johtaa sekaannuksiin; mikäli on tarpeellista käyttää vain lukuja B2n, voi käyttää vaihtoehtoista merkintää {B}^{*}_{n}=B_{2n}.

Bernoullin luvut esiintyvät tangenttifunktion ja hyperbolisen tangenttifunktion Taylorin sarjakehitelmässä, n ensimmäisen kokonaisluvun potenssisummien kaavoissa, Eulerin-Maclaurinin kaavassa ja eräiden Riemannin zeta-funktion arvojen lausekkeissa.

Ne on nimetty 1600-luvulla eläneen kehittäjänsä Jakob Bernoullin mukaan.[1]

Historia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Bernoullin lukujen keksiminen juontaa juurensa ongelmaan kokonaislukupotenssien summan laskemisesta, mikä on kiinnostanut matemaatikkoja antiikin ajoista lähtien.

Aluksi tunnettiin tapoja laskea n ensimmäisen kokonaisluvun, n ensimmäisen neliön ja n ensimmäisen kuutioluvun summa, mutta ei varsinaisia kaavoja, vain puhtaasti sanallisia kuvauksia. Varhaisista matemaatikoista tätä ongelmaa ovat miettineet ainakin Pythagoras, Arkhimedes, Aryabhata, Abu Bakr al-Karajidi ja Abu Ali al-Hasan ibn al-Hasan ibn al-Haytham.

Thomas Harriot (1560–1621) on ilmeisesti ensimmäinen, joka johti ja kirjoitti kaavat symbolisessa muodossa, mutta hän etsi kaavat vain neljänsien potenssien summaan asti. Vuonna 1631 julkaistussa Academia Algebraessa Johann Faulhaber esitti kaavat potenssien summille polynomimuodossa aina 17. potenssiin asti ja mainitsi etsineensä kaavat 25. potenssiin asti. Nämäkin kaavat ovat teoksessa, tosin salakirjoitusmuodossa. Donald E. Knuth arvelee olevansa ensimmäinen, joka ratkaisi Faulhaberin koodin ja sanoo kaavojen olleen oikein 23. potenssiin asti. Kuitenkaan Faulhaberkaan ei keksinyt yleistä sääntöä.

Jakob Bernoullin Summae Potestatum, 1713

Sveitsiläinen matemaatikko Jakob Bernoulli (1654-1705) oli ensimmäinen, joka huomasi yksittäisen lukujonon B0, B1, B2 ... joka tarjoaisi tavan muodostaa yleisen kaavan potenssisummille. Ensimmäinen julkaisu Bernoullin luvuista on Bernoullin hänen kuolemansa jälkeen, vuonna 1713 julkaistussa Ars Conjectandissa. Kuvan otteessa kirjasta näkyy sivun alemmassa puoliskossa Bernoullin löytämä kaava. Bernoulli käyttää merkintöjä A, B C ja D modernin merkintätavan mukaisista luvuista B2, B4, B6 ja B8. Lausekkeessa c·c−1·c−2·c−3 esiintyvät pisteet ovat erottamassa kertolaskun termejä c, c-1, c-2 ja c-3; eivät kertomerkkejä. Modernia termejä käyttäen kyseessä on siis laskeva kertoma. Myöskään kertomamerkintää ei vielä tuolloin käytetty. Integraalisymboli on peräisin Leibniziltä, joka käytti sitä merkitsemään summaa.

Bernoullin tyytyväisyys nopeaan tapaan määrittää kertoimet n ensimmäisen kokonaisluvun c:nsien potenssien summalle, jokaiselle kokonaisluvulle c näkyy seuraavasta kommentista:

"Tämän taulukon avulla sain laskettua alle puolessa neljännestunnissa, että 1000 ensimmäisen luvun kymmenien potenssien summa on 91409924241424243424241924242500.”


Bernoullin luvut voidaan määritellä generoivan funktion avulla:[2]


\frac{x}{e^x-1} = \sum_{n=0}^{\infin} B_n \frac{x^n}{n!}.

Ensimmäiset Bernoullin luvut[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tässä taulukossa on vain Bernoullin luvut B2n, koska parittomilla indekseillä Bn on 0, lukuun ottamatta lukua B1, jonka arvo on sopimuksesta riippuen joko -12 tai 12

Ensimmäiset Bernoullin luvut, joilla on parillinen indeksi
n Bn
0 1
2 1/6
4 1/30
6 1/42
8 1/30
10 5/66
12 691/2730
14 7/6
16 3617/510
18 43867/798
20 174611/330
22 854513/138
24 236364091/2730
26 8553103/6
28 23749461029/870
30 8615841276005/14322
32 7709321041217/510
34 2577687858367/6
36 26315271553053477373/1919190
38 2929993913841559/6
40 261082718496449122051/13530
42 1520097643918070802691/1806
44 27833269579301024235023/690
46 596451111593912163277961/282
48 5609403368997817686249127547/46410
50 495057205241079648212477525/66



Bernoullin luvut ja Riemannin zeta-funktio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Bernoullin luvut Riemannin zeta-funktion avulla.

Bernoullin luvuilla on yhteyksiä Riemannin zeta-funktion arvoihin, Bernoullin luvut voidaan ilmoittaa Riemannin zeta-funktion avulla

B_n={(-1)}^{n+1}n\zeta(1-n)

Riemannin zeta-funktion arvot \zeta(n) voidaan ilmoittaa yksinkertaisella lausekkeella Bernoullin lukujen avulla, kun n on negatiivinen kokonaisluku tai parillinen positiivinen kokonaisluku: parillisille positiivisille kokonaisluvuille 2n

 \zeta(2n) = (-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}

ja negatiivisille kokonaisluvuille pätee

\zeta(-n)=-\frac{B_{n+1}}{n+1}, kun n ≥ 1,

Kiinteästä yhteydestä kertoo myös se, että Riemannin hypoteesi voidaan muotoilla uudelleen Bernoullin lukuja käyttäen. Marcel Riesz todisti vuonna 1916 seuraavan hypoteesin olevan yhtäpitävä Riemannin hypoteesin kanssa:

Jokaiselle luvulle ε > 1/4 on olemassa (ε:sta riippuva) vakio Cε > 0 siten, että |R(x)| < Cε xε kun x → ∞.

Merkintä R(x) tarkoittaa Rieszin funktiota

 R(x) = 2 \sum_{k=1}^{\infty}
\frac{k^{\overline{k}} x^{k}}{(2\pi)^{2k}\left(B_{2k}/(2k)\right)}
= 2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k^{\overline{k}}x^{k}}{(2\pi)^{2k}\beta_{2k}}. \

Tässä n^{\overline{k}} tarkoittaa nousevaa kertomaa, käyttäen Donald E. Knuthin esittämää merkintää.


Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Jakob Bernoulli Encyclopedia Britannica. Viitattu 6.10.2012.
  2. Kellner B: The Bernoulli Number Page Viitattu 6.10.2012.
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.