Buffonin neula

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Neula a leikkaa viivan, b ei leikkaa.

Buffonin neula oli ensimmäinen geometrisen todennäköisyyden ongelma. Oletetaan että lattia on tehty yhdensuuntaisista ja samanlevyisistä laudoista. Mikä on todennäköisyys että lattialle pudotettu neula leikkaa laudan reunan. (Ts. putoaa useamman kuin yhden laudan päälle.) Tämän kysymyksen esitti ensimmäisen kerran Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon 1700-luvulla.

Matemaattinen formulointi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Neula, jonka pituus on l, pudotetaan tasolle jossa on yhdensuuntaisia suoria ja joiden etäisyys on t. Mikä on todennäköisyys että neula leikkaa suoran?

Ratkaisu[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon x etäisyys neulan keskipisteestä lähimpään suoraan ja θ neulan ja suoran välinen kulma. Neulan keskipisteen etäisyys lähimpään suoraan on enintään t/2 ja kaikki etäisyydet ovat yhtä todennäköisiä, joten x:n tiheysfunktio välillä 0 ja 2/t on



\begin{cases}
\frac{2}{t} &:\ 0 \le x \le \frac{t}{2}\\
0 &: \text{muualla.}
\end{cases}


Vastaavasti kulman θ tiheysfunktio on



\begin{cases}
\frac{2}{\pi} &:\ 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}\\
0 &: \text{muualla.}
\end{cases}


Koska x ja θ eivät ole toisistaan riippuvaisia, voidaan tiheysfunktiot yhdistää



\begin{cases}
\frac{4}{t\pi} &:\ 0 \le x \le \frac{t}{2}, \ 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}\\
0 &: \text{muualla.}
\end{cases}


Trigonometriaa käyttämällä näemme että neula leikkaa suoran jos


x \le \frac{l}{2}\sin\theta.


Tapaus 1: Lyhyt neula[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Oletetaan että neulan pituus l on pienempi kuin suorien etäisyys t. Kaikista mahdollisista neulan asennoista, olemme kiinnostuneet niistä joissa x \le \frac{l}{2}\sin\theta.. Integroimalla yhdistettyä tiheysfunktiota saamme todennäköisyydeksi P(neula leikkaa suoran)

P = \int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{x=0}^{(l/2)\sin\theta}  \frac{4}{t\pi}\,dx\,d\theta = \frac{2 l}{t\pi}.

Tapaus 2: Pitkä neula[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Oletetaan että l > t. Nyt integroimalla yhdistettyä tiheysfunktiota saamme:


\int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{x=0}^{m(\theta)}  \frac{4}{t\pi}\,dx\,d\theta ,


missä m(\theta) on Minimi [(l/2)\sin\theta , t/2] .


Suorittamalla integroinnin näemme, että kun t < l. Todennäköisyys että neula leikkaa suoran on


\frac{2 l}{t\pi} - \frac{2}{t\pi}\left\{\sqrt{l^2 - t^2} + t\sin^{-1}\left(\frac{t}{l}\right)\right\}+1

tai

 \frac{2}{\pi} \cos^{-1}\frac{t}{l} + \frac{2}{\pi} \frac{l}{t} \left\{1 - \sqrt{1 - \left( \frac{t}{l} \right)^2  } \right\}.


Toisen lausekkeen ensimmäinen termi Kertoo todennäköisyyden jolla neulan kulma on sellainen että se leikkaa suoran x:stä riippumatta. Vastaavasti toinen termi kertoo todennäköisyyden, jolla neula tippuu kulmaan, jossa x:llä on väliä ja neula leikkaa suoran.

π: kokeellinen määrittäminen[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Italialainen matemaatikko Lazzarini suoritti kokeen 1901, jossa hän laittoi koneen heittämään tikkua 3408 kertaa. Hän sai tulokseksi P(tulitikku\ leikkaa\ viivan) = \frac{1808}{3408}. Jos ratkaisemme  \pi = \frac {2l}{{P}t}. ja sijoitamme Lazzarinin määrittämän likiarvon P:lle, saamme : \pi = 3,1415929, joka on oikein kuuden desimaalin tarkkuudella. Koe on herättänyt paljon epäilyksiä sillä Lazzarinin valitsemat 3408 ja 5/6 johtavat suoraan hyvin tunnettaan Pii:n likiarvoon  \pi = \frac{355}{113}.(  3408\frac{5}{6} , on 355:n monikerta. )

Tulitikkukoe[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tarvitset tulitikkuja ja alustan johon voit piirtää viivoja. Piirrä alustalle yhdensuuntaisia viivoja joiden etäisyys toisistaan on 2 kertaa tulitikun mitta. Nyt voimme laskea todennäköisyyden yhtä tikkua heitettäessa:

P(tulitikku\ leikkaa\ viivan) = \frac{1}{\pi}.

Josta

 \pi = \frac{1}{P(tulitikku\ leikkaa\ viivan) }.

Nyt voimme kokeellisesti määrittää todennäköisyyden sille, että tikku leikkaa viivan heittelemällä tikkua tarpeeksi monta kertaa. Kokeellisen todennäköisyyden saamme laskettua:

 P = \frac{leikkaa}{ei \ leikkaa}. Ja arvion pi:lle käänteislukuna.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Badger, Lee (April 1994). "Lazzarini's Lucky Approximation of π". Mathematics Magazine 67 (2): 83–91. Mathematical Association of America. doi:10.2307/2690682. 
  • Ramaley, J. F. (October 1969). "Buffon's Noodle Problem". The American Mathematical Monthly 76 (8): 916–918. Mathematical Association of America. doi:10.2307/2317945. 
  • Schroeder, L. (1974). "Buffon's needle problem: An exciting application of many mathematical concepts". Mathematics Teacher, 67 (2), 183–6.

Lisämateriaalia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]