Bayesin teoreema

Wikipedia

Bayesin teoreema (myös Bayesin sääntö tai Bayesin laki) on ehdolliseen todennäköisyyteen liittyvä teoreema. Teoreeman voidaan tulkita kuvaavan uskomusten päivittämistä uuden todisteaineiston valossa a posteriori. Teoreema on nimetty sen kehittäneen 1700-luvulla eläneen brittiläisen pastori ja matemaatikko Thomas Bayesin mukaan.

[muokkaa] Teoreeman esittely

Tapahtuman A todennäköisyys ehdolla B on yleisesti eri asia kuin B ehdolla A. Näiden kahden ehdollisen todennäköisyyden välillä on kuitenkin suhde, jota Bayesin teoreema kuvaa. Teoreema kuuluu seuraavasti:

$\mathbb{P}(B \mid A) = \frac{\mathbb{P}(A \mid B)\;\mathbb{P}(B)}{\mathbb{P}(A)}\!$

$\mathbb{P}(A)$ on A:n priori-todennäköisyys. Se ei riipu B:stä (jota joskus kutsutaan havainnoksi).
$\mathbb{P}(A \mid B)$ on A:n todennäköisyys ehdolla B. Tätä kutsutaan myös posterioritodennäköisyydeksi.
$\mathbb{P}(B \mid A)$ on B:n todennäköisyys ehdolla A.
$\mathbb{P}(B)$ on B:n priori-todennäköisyys.

[muokkaa] Esimerkki teoreeman käytöstä

Oletetaan, että meillä on kaksi purkillista keksejä. Purkissa 1 on 10 suklaakeksiä sekä 30 kookoskeksiä, kun taas purkissa 2 on molempia laatuja 20 kappaletta. Oletetaan, että Fred valitsee ensin sattumanvaraisesti toisen purkeista ja sitten nostaa valitsemastaan purkista sattumanvaraisesti yhden keksin. Fredin valitsema keksi on kookoskeksi. Millä todennäköisyydellä se on peräisin purkista 1?

Intuitiivisesti on helppo nähdä, että koska kookoskeksejä on purkissa 1 enemmän kuin 2, on todennäköisyyden oltava suurempi kuin 0.5. Tarkka todennäköisyys voidaan laskea Bayesin teoreeman avulla.

$\mathbb{P}(purkki\ 1|kookoskeksi)$ on todennäköisyys sille, että Fredin valitsema purkki on purkki 1 siinä tapauksessa, että hän on valinnut purkista kookoskeksin. Tähän etsimme tässä ongelmassa ratkaisua.

$\mathbb{P}(purkki\ 1|kookoskeksi)=?$

$\mathbb{P}(kookoskeksi)$ on todennäköisyys sille, että Fredin valitsema keksi on kookoskeksi. Tätä todennäköisyyttä kuvaa kookoskeksien osuus kaikista mahdollisista kekseistä. Kookoskeksejä on ensimmäisessä purkissa 30 kappaletta ja toisessa purkissa 20 kappaletta, yhteensä 50 kappaletta. Koska molemmissa purkeissa on 40 keksiä, on keksien kokonaismäärä 80 kappaletta. Näin saadaan

$\mathbb{P}(kookoskeksi) = \frac{50}{80}=0,625$

$\mathbb{P}(purkki\ 1)$ on todennäköisyys sille, että Fredin valitsema purkki on nimenomaan purkki 1. Kahdesta purkista yhden tietyn valitsemisen todennäköisyys on 0.5.

$\mathbb{P}(purkki\ 1)=0.5$

$\mathbb{P}(kookoskeksi|purkki\ 1)$ on todennäköisyys sille, että Fredin valitsema keksi on kookoskeksi siinä tapauksessa, että hän on valinnut purkin 1. Koska purkissa 1 on yhteensä 40 keksiä, joista 30 on kookoskeksejä, saadaan todennäköisyydeksi

$\mathbb{P}(kookoskeksi|purkki\ 1)=\frac{30}{40}=0,75$

Tämän informaation avulla voimme laskea todennäköisyyden sille, että Fredin valitsema kookoskeksi on peräisin purkista 1:

$\mathbb{P}(purkki\ 1|kookoskeksi) \frac{\mathbb{P}(kookoskeksi|purkki\ 1) \mathbb{P}(purkki\ 1)}{\mathbb{P}(kookoskeksi)} = \frac{0.75 \cdot 0.5}{0.625} = 0.6$