Aritmeettinen tiheys

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Aritmeettinen tiheys eli luonnollinen tiheys on eräs tapa mitata lukuteoriassa kuinka suuri jokin luonnollisten lukujen osajoukko on.

On intuitiivista ajatella, että on enemmän luonnollisia lukuja kuin on vaikkapa neliölukuja, sillä jokainen neliöluku on myös luonnollinen luku ja lisäksi on paljon muita luonnollisia lukuja jotka kuitenkaan eivät ole neliöitä.

Esimerkiksi äärettömien joukkojen vertailussa käytetyn mahtavuuden käsitteen nojalla nämä joukot ovat yhtä suuria, sillä joukkojen välille voidaan muodostaa bijektio, esimerkiksi funktio f(n)=n^2 on bijektio joukosta \mathbb{N} neliölukujen joukkoon E = {0, 1, 4, 9, 16, ...}

Tarvitaan siis uudenlainen keino tämän intuitiivisen asian saattamiseksi matemaattisesti pätevään muotoon.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lukujonon A

a1, a2, ... , an, .....

missä aj ovat positiivisia kokonaislukuja ja kaikille j pätee aj < aj+1 aritmeettinen tiheys d(A) on

\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{| A(n)|}{n}

missä |A(x)| on niiden aj lukumäärä joille aj < x, mikäli raja-arvo on olemassa.

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]