Yhteinen tekijä
Kahden luvun yhteinen tekijä on matematiikassa luku, jolla nämä molemmat luvut ovat jaollisia . Yleisemmin voi yhteinen tekijä olla myös polynomissa esimerkiksi binomi.
Mitä tarkoittaa yhteinen tekijä? Tätä käsitettä käytetään yleiskielessä merkitsemään yhdistävää asiaa, mikä auttaa hahmottamaan kokonaiskuvaa. Esimerkiksi joissain toiveissa voi yhdistävänä tekijänä olla tietty pyrkimys. Toisaalta taas voidaan taustan luomiseksi ajatella keittokirjaa tai valmistusprosessia yleisemmin: mistä on mikäkin tuote tai asia valmistettu, mistä tekijöistä tehty? ”Ottamalla tuota tekijää näin monta kertaa jne.”
Kuten sivuttua, matematiikassa yhteinen tekijä merkitsee, että eri termit ovat jaollisia tällä kyseisellä tekijällä. Tällaisia tekijöitä voi olla useampia ja yhteinen tekijä voi myös olla eri termien summa (polynomifunktiot).
Kun ajatellaan kokonaislukuja, on selvää että kaksi on kaksi kertaa yksi, kahdeksan on esimerkiksi kaksi kertaa neljä, jne. Yhteinen tekijä voidaan löytää kuitenkin erilaisissa lukujoukoissa. Jos esimerkiksi lasketaan yhteen ympyröiden piirejä, voidaan yhteiseksi tekijäksi ottaa π.
Yhteinen tekijä matematiikassa auttaa sieventämään lausekkeita, ratkaisemaan niitä, tarkastelemaan ongelmaa kokonaisvaltaisemmin. Myös murtoluvuilla laskemiseen ja matemaattisten sarjojen kehittelyyn liittyy yhteinen tekijä.
Polynomifunktion yhteinen tekijä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Polynomifunktiossa voi yhteinen tekijä olla yhteinen jaettava eri termeissä: Esim. X² + 2X = X(X + 2)
Polynomifunktion palauttaminen tulon tekijöihin voi auttaa funktion sieventämisessä. Esimerkiksi: (X + Y)(X – Y) = X² - Y² Ja edelleen esimerkiksi: X² – Y² / (X + Y) = X – Y.
Summan ja erotuksen tulon lisäksi polynomifunktioiden sieventämisessä käytetään usein binomin neliöitä (X + Y)² ja (X – Y)² .
Yhteinen tekijä ja sarjakehitelmät[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Yhteinen tekijä liittyy suoraan geometrisiin sarjoihin, joissa sarjan seuraava tekijä saadaan edellisestä kertomalla se jollain vakiolla (≠ 0 ja ≠ 1). Tässä on hyvä ottaa vertailukohdaksi polynomifunktioiden yhteisen tekijän etsiminen. Polynomifunktio voi olla geometrisen sarjan osa, tai polynomifunktion osa voi olla tällaisen sarjan osa. Myös esimerkiksi geometrisen sarjan osasumma, summan kaava, voi auttaa sieventämään ja ratkaisemaan matemaattista ongelmaa.
Yhteinen tekijä murtoluvuissa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Murtoluvuilla yhteen- ja vähennyslaskuja tehtäessä tulee murtoluvut saada vertailukelpoisiksi, ne tulee laventaa/supistaa samannimisiksi, jolloin nimittäjä on luvuilla yhteinen tekijä. Jos olemme eri mieltä, väitämme, että puolikas jostain kokonaisuudesta on sama asia kuin sadasosa tästä samasta kokonaisuudesta.
Murtolukuihin liittyy useita eri matematiikan käsitteitä ja laskemisen tapoja. Esimerkiksi pyrimme supistamaan murtoluvun mahdollisimman yksinkertaiseksi, supistamaan sitä ”mahdollisimman paljon”, mahdollisimman suurella yhteisellä tekijällä (suurin yhteinen tekijä). Ja myös esimerkiksi laventamisen jälkeen taas lauseke on sievennetympi, jos saamme lavennettua eri murtoluvut samannimisiksi pienemmillä luvuilla (pienin yhteinen jaettava). Mitä pienempinumeroisilla (murto-)luvuilla laskemme, sen selvempää, ellei ole jotain erityistä syytä muuttaa murtolukuja joksikin tietyiksi osiksi. 2/3 on selvempi luku kuin 24/36.
Myös murtolukujen kerto- ja jakolaskuun sisältyy ajatus yhteisestä tekijästä. Murtolukujen kerto ja jakolasku on kerto- ja jakolaskua siinä kuin kokonaisluvuillakin, luvut joilla operoidaan ovat vain vaikeammat. Murtolukujen jakolaskua esimerkiksi voidaan hahmottaa kysymällä, montako kertaa jakaja sisältyy jaettavaan.
Toisaalta yhteisen tekijän lähestymistapaa voidaan soveltaa murtoluvun nimittäjän ja osoittajan laventamiseen/supistamiseen; toisaalta murtolukuja voidaan katsoa itsenäisinä lukuina joille voidaan löytää yhteinen tekijä.