Vektorikimppu

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Vektorikimppu on matemaattinen konstruktio, jossa jonkin avaruuden, nk. pohja-avaruuden, pisteisiin liitetään vektoriavaruus. Näiden vektoriavaruuksien oletetaan liittyvän yhteen "jatkuvasti", ts. tarvitaan topologian käsitteistö.

Helpoin esimerkki vektorikimpusta on niin sanottu triviaali vektorikimppu. Olkoon topologinen avaruus ja mielivaltainen kokonaisluku. Tällöin voi jokaiseen :n pisteeseen liittää "sama" vektoriavaruus . Toisin sanoen saadaan aikaan avaruus . Yleisessä vektorikimpussa tosin vektoriavaruus voi kaareutua. Tästä esimerkkinä on Möbiuksen nauha, jossa pohja-avaruus on yksikköympyrä , ja vektoriavaruus on reaalilukujen joukko , joka "käännetään ympäri".

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon topologisia avaruuksia, ja olkoon jatkuva kuvaus. Tällöin pari on topologinen vektorikimppu, jos nämä toteuttavat seuraavat ominaisuudet [1].

  • Lokaali triviaalisuus: On olemassa avoin peite , joille ja kaikille . Eli on olemassa homeomorfismi .
  • Yhteensopivuus: Translaatiokuvaukset ovat homeomorfismeja ja lineaarisia koordinaatissa. Eli translaatiokuvaukset ovat säiekuvauksia (bundle map).

Avaruus on pohja-avaruus, ja on nk. totaaliavaruus. Kuvaus on projektio, ja on esimerkki topologisesta submersiosta. Kokonaisluku on vektorikimpun ulottuvuus.

Samalla lailla voidaan määritellä sileät vektorikimput, jos pohja- ja totaaliavaruus oletetaan sileiksi monistoiksi. Tällöin oletetaan, että kuvaukset yllä ovat kaikki sileitä. Yleisimmin geometriassa tarkastellaan juuri vektorikimppuja monistoilla.

Säiekuvaukset[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoot topologisia vektorikimppuja, joiden pohja-avaruudet ovat ja ulottuvuudet , vastaavasti. Sanomme, että jatkuva kuvaus on säiekuvaus, jos seuraavat kaksi ominaisuutta pätevät:

  • Kommutointi: On olemassa kuvaus , jolle .
  • Kuvaus on lineaarinen. Tässä kaikilla, , pätee, että .

Jos kyseessä on sileä vektorikimppu, niin samalla lailla määrittelemme sileät säiekuvaukset. Jos kuvaus on homeomorfismi, tai diffeomorfismi, niin sen käänteiskuvaus on myös säiekuvaus ja tällöin vektorikimput ovat isomorfisia.

Sektiot[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sektiot yleistävät vektorikenttiä. Vektorikentät liittävät moniston pisteisiin sen tangenttiavaruuden vektorin, joka euklidisen avaruuden tapauksessa voidaan samaistaa avaruuden kanssa. Yleisesti ottaen sektio on jatkuva kuvaus, joka liittää jokaiseen pisteeseen vektorin, joka kuuluu joukkoon , eli

missä on identiteettikuvaus. Edelleen voimme määritellä sileät sektiot. Esimerkkinä olkoot nolla-sektio, jossa .

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. John W. Milnor ja James D. Stasheff: Characteristic Classes. Princeton University Press, 1974.