Ero sivun ”Karakteristinen polynomi” versioiden välillä
[arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
p Botti lisäsi: ja:固有多項式 |
p r2.5.2) (Botti lisäsi: sl:Karakteristični polinom (linearna algebra) |
||
Rivi 64: | Rivi 64: | ||
[[pt:Polinômio característico]] |
[[pt:Polinômio característico]] |
||
[[ru:Характеристический многочлен матрицы]] |
[[ru:Характеристический многочлен матрицы]] |
||
[[sl:Karakteristični polinom (linearna algebra)]] |
|||
[[sr:Карактеристични полином]] |
[[sr:Карактеристични полином]] |
||
[[uk:Характеристичний поліном]] |
[[uk:Характеристичний поліном]] |
Versio 18. joulukuuta 2010 kello 18.46
Karakteristinen polynomi on neliömatriiseihin liittyvä käsite. Tämä polynomi sisältää useita matriisiin liittyviä ominaisuuksia, huomattavampina matriisin ominaisarvot, determinantti sekä jälki.
Motivaatio
Annetulle neliömatriisille A on löydettävä polynomi, jonka juuret ovat A:n ominaisarvot. Lävistäjämatriisille A karakteristinen polynomi on helppo määritellä: jos lävistäjäalkiot ovat muotoa ai, niin karakteristinen polynomi on muotoa
Tämä siksi, että lävistäjäalkiot ovat matriisin ominaisarvot.
Yleisen matriisin A tapauksessa voidaan menetellä seuraavasti. Jos λ on A:n ominaisarvo, niin on olemassa ominaisvektori v≠0 siten, että
- ,
tai
- ,
missä I on yksikkömatriisi. Koska vektori v on nollasta poikkeava, on matriisi singulaarinen, jolloin sen determinantti on 0. Tämän determinantista saadun polynomin
juuret ovat A:n ominaisarvoja. Koska funktio on polynomifunktio, on vaadittu karakteristinen polynomi löydetty.
Formaali määritelmä
Olkoon K kunta ja A K-kertoiminen n×n-matriisi. Matriisin A:n karakteristinen polynomi pA(t) on määritelmän mukaan
- ,
missä I on n×n yksikkömatriisi. Tämä on todellakin polynomi, sillä determinantti on määritelty summaksi matriisin alkioiden tuloista. Toisinaan määritellään karakteristinen polynomi kaavalla det(A − tI). Tästä saadaan alkuperäinen määritelmä kertomalla polynomi -1:llä.
Esimerkki
Lasketaan matriisin
karakteristinen polynomi. Tällöin on laskettava seuraavan matriisin determinantti:
Tämä determinantti on
Tämä on A:n karakteristinen polynomi, missä t on matriisin ominaisarvo.