Karakteristinen polynomi

Karakteristinen polynomi on neliömatriiseihin liittyvä käsite. Tämä polynomi sisältää useita matriisiin liittyviä ominaisuuksia, huomattavampina matriisin ominaisarvot, determinantti sekä jälki.

Motivaatio

Annetulle neliömatriisille A on löydettävä polynomi, jonka juuret ovat A:n ominaisarvot. Lävistäjämatriisille A karakteristinen polynomi on helppo määritellä: jos lävistäjäalkiot ovat muotoa a_i, niin karakteristinen polynomi on muotoa

$(t-a_{1})(t-a_{2})(t-a_{3})...\,$

Tämä siksi, että lävistäjäalkiot ovat matriisin ominaisarvot.

Yleisen matriisin A tapauksessa voidaan menetellä seuraavasti. Jos λ on A:n ominaisarvo, niin on olemassa ominaisvektori v≠0 siten, että

$A{\vec {v}}=\lambda {\vec {v}}$,

tai

$(A-\lambda I){\vec {v}}=0$,

missä I on yksikkömatriisi. Koska vektori v on nollasta poikkeava, on matriisi $(A-\lambda I)$ singulaarinen, jolloin sen determinantti on 0. Tämän determinantista saadun polynomin

$\det(tI-A)=0\,$

juuret ovat A:n ominaisarvoja. Koska funktio on polynomifunktio, on vaadittu karakteristinen polynomi löydetty.

Formaali määritelmä

Olkoon K kunta ja A K-kertoiminen n×n-matriisi. Matriisin A:n karakteristinen polynomi p_A(t) on määritelmän mukaan

$p_{A}(t)=\det(A-tI)\,$,

missä I on n×n yksikkömatriisi. Tämä on todellakin polynomi, sillä determinantti on määritelty summaksi matriisin alkioiden tuloista. Toisinaan määritellään karakteristinen polynomi kaavalla det(A − tI). Tästä saadaan alkuperäinen määritelmä kertomalla polynomi -1:llä.

Esimerkki

Lasketaan matriisin

$A={\begin{pmatrix}2&1\\-1&0\end{pmatrix}}.$

karakteristinen polynomi. Tällöin on laskettava seuraavan matriisin determinantti:

$\det(tI-A)=\det {\begin{pmatrix}t-2&-1\\1&t\end{pmatrix}}.$

Tämä determinantti on

$(t-2)t-1\cdot (-1)=t^{2}-2t+1.\,\!$

Tämä on A:n karakteristinen polynomi, missä t on matriisin ominaisarvo.