Ero sivun ”Karakteristinen polynomi” versioiden välillä
[arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
p Botti lisäsi: pt:Polinômio característico |
Matematiikassa implikaatio suomennetaan jos, niin, ei pelkkä jos. Lausetta ei saa koskaan aloittaa matemaattisella symbolilla. |
||
Rivi 2: | Rivi 2: | ||
==Motivaatio== |
==Motivaatio== |
||
Annetulle neliömatriisille ''A'' on löydettävä polynomi, jonka juuret ovat ''A'':n ominaisarvot. [[Lävistäjämatriisi]]lle ''A'' karakteristinen polynomi on helppo määritellä: jos lävistäjäalkiot ovat muotoa ''a<sub>i</sub>'', |
Annetulle neliömatriisille ''A'' on löydettävä polynomi, jonka juuret ovat ''A'':n ominaisarvot. [[Lävistäjämatriisi]]lle ''A'' karakteristinen polynomi on helppo määritellä: jos lävistäjäalkiot ovat muotoa ''a<sub>i</sub>'', niin karakteristinen polynomi on muotoa |
||
:<math>(t - a_1)(t - a_2)(t - a_3)...\,</math> |
:<math>(t - a_1)(t - a_2)(t - a_3)...\,</math> |
||
Rivi 8: | Rivi 8: | ||
Tämä siksi, että lävistäjäalkiot ovat matriisin ominaisarvot. |
Tämä siksi, että lävistäjäalkiot ovat matriisin ominaisarvot. |
||
Yleisen matriisin ''A'' tapauksessa voidaan menetellä seuraavasti. Jos λ on ''A'':n ominaisarvo, on olemassa [[ominaisvektori]] '''v'''≠'''0''' siten, että |
Yleisen matriisin ''A'' tapauksessa voidaan menetellä seuraavasti. Jos λ on ''A'':n ominaisarvo, niin on olemassa [[ominaisvektori]] '''v'''≠'''0''' siten, että |
||
:<math>A\vec{v} = \lambda\vec{v}</math>, |
:<math>A\vec{v} = \lambda\vec{v}</math>, |
||
Rivi 23: | Rivi 23: | ||
==Formaali määritelmä== |
==Formaali määritelmä== |
||
Olkoon ''K'' [[kunta (matematiikka)|kunta]] ja ''A'' ''K''-kertoiminen ''n''×''n''-matriisi. ''A'':n karakteristinen polynomi ''p''<sub>''A''</sub>(''t'') on määritelmän mukaan |
Olkoon ''K'' [[kunta (matematiikka)|kunta]] ja ''A'' ''K''-kertoiminen ''n''×''n''-matriisi. Matriisin ''A'':n karakteristinen polynomi ''p''<sub>''A''</sub>(''t'') on määritelmän mukaan |
||
:<math>p_A(t) = \det(A - tI)\,</math>, |
:<math>p_A(t) = \det(A - tI)\,</math>, |
Versio 12. elokuuta 2009 kello 20.59
Karakteristinen polynomi on neliömatriiseihin liittyvä käsite. Tämä polynomi sisältää useita matriisiin liittyviä ominaisuuksia, huomattavampina matriisin ominaisarvot, determinantti sekä jälki.
Motivaatio
Annetulle neliömatriisille A on löydettävä polynomi, jonka juuret ovat A:n ominaisarvot. Lävistäjämatriisille A karakteristinen polynomi on helppo määritellä: jos lävistäjäalkiot ovat muotoa ai, niin karakteristinen polynomi on muotoa
Tämä siksi, että lävistäjäalkiot ovat matriisin ominaisarvot.
Yleisen matriisin A tapauksessa voidaan menetellä seuraavasti. Jos λ on A:n ominaisarvo, niin on olemassa ominaisvektori v≠0 siten, että
- ,
tai
- ,
missä I on yksikkömatriisi. Koska vektori v on nollasta poikkeava, on matriisi singulaarinen, jolloin sen determinantti on 0. Tämän determinantista saadun polynomin
juuret ovat A:n ominaisarvoja. Koska funktio on polynomifunktio, on vaadittu karakteristinen polynomi löydetty.
Formaali määritelmä
Olkoon K kunta ja A K-kertoiminen n×n-matriisi. Matriisin A:n karakteristinen polynomi pA(t) on määritelmän mukaan
- ,
missä I on n×n yksikkömatriisi. Tämä on todellakin polynomi, sillä determinantti on määritelty summaksi matriisin alkioiden tuloista. Toisinaan määritellään karakteristinen polynomi kaavalla det(A − tI). Tästä saadaan alkuperäinen määritelmä kertomalla polynomi -1:llä.
Esimerkki
Lasketaan matriisin
karakteristinen polynomi. Tällöin on laskettava seuraavan matriisin determinantti:
Tämä determinantti on
Tämä on A:n karakteristinen polynomi, missä t on matriisin ominaisarvo.