Ero sivun ”Poincarén epäyhtälö” versioiden välillä
Siirry navigaatioon
Siirry hakuun
| [arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
karkea käännös, tarkistettava |
p +tynkä |
||
| Rivi 1: | Rivi 1: | ||
'''Poincarén epäyhtälö''' on syntynyt Sobolev- |
'''Poincarén epäyhtälö''' on syntynyt Sobolev-avaruuksien teorian tuloksena ja nimetty [[Ranska|ranskalaisen]] [[matemaatikko|matemaatikon]] [[Henri Poincaré]]n mukaan. [[Epäyhtälö]]n avulla voidaan selvittää [[funktio]]n rajat käyttämällä sen [[derivaatta|derivaattojen]] rajoja ja [[määrittelyjoukko|määrittelyjoukon]] [[geometria]]a. Mainitut rajat ovat erittäin merkittäviä nykyaikaisen [[variaatiolaskenta|variaatiolaskennan]] menetelmissä. |
||
[[Henri Poincaré]]n mukaan. Epäyhtälön avulla voidaan selvittää funktion rajat käyttämällä sen derivaattojen rajoja ja määrittelyjoukon geometriaa. Mainitut rajat ovat erittäin merkittäviä nykyaikaisen variaatiolaskennan menetelmissä. |
|||
==Epäyhtälön määritelmä== |
==Epäyhtälön määritelmä== |
||
Oletetaan, että <math>1 \leq p \leq \infty</math>, <math>\Omega</math> on [[prekompakti]] joukon <math>\mathbb{R}^n</math> [[avoin joukko|avoin osajoukko]] [[Lipschitz-reuna|Lipschitzin reunalla]] (so. <math>\Omega</math> on avoin, rajoitettu Lipschitz-joukko). Silloin on olemassa vakio <math>C</math> riippuen ainoastaan <math>\Omega</math>:sta ja <math>p</math>:stä siten, että kaikille <math>u \in W^{1, p} (\Omega)</math> |
Oletetaan, että <math>1 \leq p \leq \infty</math>, <math>\Omega</math> on [[prekompakti]] joukon <math>\mathbb{R}^n</math> [[avoin joukko|avoin osajoukko]] [[Lipschitz-reuna|Lipschitzin reunalla]] (so. <math>\Omega</math> on avoin, [[rajoitettu (matematiikka)|rajoitettu]] Lipschitz-joukko). Silloin on olemassa vakio <math>C</math> riippuen ainoastaan <math>\Omega</math>:sta ja <math>p</math>:stä siten, että kaikille <math>u \in W^{1, p} (\Omega)</math> |
||
:<math>\| u - u_{\Omega} \|_{L^{p} (\Omega)} \leq C \| \nabla u \|_{L^{p} (\Omega)},</math> |
:<math>\| u - u_{\Omega} \|_{L^{p} (\Omega)} \leq C \| \nabla u \|_{L^{p} (\Omega)},</math> |
||
| Rivi 12: | Rivi 11: | ||
:<math>u_{\Omega} = \frac{1}{|\Omega|} \int_{\Omega} u(y) \, \mathrm{d} y</math> |
:<math>u_{\Omega} = \frac{1}{|\Omega|} \int_{\Omega} u(y) \, \mathrm{d} y</math> |
||
on keskiarvo <math>u</math> yli <math>\Omega</math>:n |
on keskiarvo <math>u</math> yli <math>\Omega</math>:n. |
||
{{tynkä/Matematiikka}} |
|||
[[Luokka:Matematiikka]] |
[[Luokka:Matematiikka]] |
||
Versio 8. helmikuuta 2007 kello 10.20
Poincarén epäyhtälö on syntynyt Sobolev-avaruuksien teorian tuloksena ja nimetty ranskalaisen matemaatikon Henri Poincarén mukaan. Epäyhtälön avulla voidaan selvittää funktion rajat käyttämällä sen derivaattojen rajoja ja määrittelyjoukon geometriaa. Mainitut rajat ovat erittäin merkittäviä nykyaikaisen variaatiolaskennan menetelmissä.
Epäyhtälön määritelmä
Oletetaan, että , on prekompakti joukon avoin osajoukko Lipschitzin reunalla (so. on avoin, rajoitettu Lipschitz-joukko). Silloin on olemassa vakio riippuen ainoastaan :sta ja :stä siten, että kaikille
missä
on keskiarvo yli :n.
