Diskriminantti

Polynomin p(x)=a_nxⁿ+...+a₁x+a₀, missä kertoimet a₁,a₂,...,a_n kuuluvat annettuun kuntaan K, diskriminantti on (2n − 1)×(2n − 1) matriisin

$\left({\begin{matrix}&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{0}&0&\ldots &\ldots &0\\&0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{0}&0&\ldots &0\\&\vdots \ &&&&&&&&\vdots \\&0&0&\ldots \ &0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{0}\\&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots \ &1a_{1}&0&\ldots &\ldots &0\\&0&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots \ &1a_{1}&0&\ldots &0\\&\vdots \ &&&&&&&&\vdots \\&0&0&\ldots &0&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots \ &a_{1}\\\end{matrix}}\right)$ determinantti.

Toisen asteen yhtälö

Tunnetuin erikoistapaus diskriminantista on toisen asteen polynomin p(x)=ax²+bx+c diskriminantti D = b^2-4ac. Toisen asteen polynomin tapauksessa diskriminantin arvosta voidaan päätellä yhtälön reaalisten ratkaisujen eli reaalijuurien lukumäärä:

• Jos $D>0$, niin yhtälöllä on kaksi erisuurta reaaliratkaisua.
• Jos $D<0$, niin yhtälöllä ei ole yhtäkään reaaliratkaisua.
• Jos $D=0$, niin yhtälöllä on yksi reaaliratkaisu, ns. kaksoisjuuri.

Diskriminantti ei kerro yhtälön juuria vaan reaalisten juurien lukumäärän. Diskriminantti on usein nopeampi tapa laskea yhtälön reaalisten juurien lukumäärä kuin yhtälön ratkaiseminen toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla.