Kokonaisalue

Rengasta $R$ kutsutaan kokonaisalueeksi, jos $R$ on kommutatiivinen eikä $R$:ssä ole nollanjakajia. Monet kiinnostavat renkaat ovat kokonaisalueita, muun muassa kokonais- ja reaaliluvut sekä jäännösluokkarenkaat $\mathbb {Z} _{m}$, missä m on alkuluku. Kokonaisalueet käyttäytyvät monessa suhteessa samankaltaisesti kuin kokonaisluvut, joita voidaan pitää kokonaisalueiden arkkityyppinä. Muun muassa kokonaisalueen n-asteisella polynomilla on korkeintaan n juurta ja kokonaisalueissa on voimassa supistamislaki $ab=ac\Rightarrow b=c$.

Karakteristika

Alkion $a$ monikerta $na=a+a+\cdots +a$, missä yhteenalskettavia on n kappaletta. Jos kokonaisalueen D alkion a monikerta $na=0$ jollakin kokonaisluvulla n, kun n ja a ovat nollasta poikkeavia, niin jokaisella D:n alkiolla b $nb=0$, mikä nähdään seuraavasti: $na=a+\cdots +a=a\cdot 1+\cdots +a\cdot 1=a\cdot (1+\cdots +1)=a\cdot (n1)$, joten jos $a\neq 0$, niin koska kokonaisalueessa ei ole nollanjakajia, täytyy olla $n1=0$. Kertomalla tämä b:llä ja kirjoittamalla lauseke vastaavalla tavalla auki päädytään yhtälöön $nb=0$.

Pienintä edellä mainitun kaltaista lukua n sanotaan kokonaisalueen karakteristikaksi ja merkitään char(D) = n. Jos tällaista lukua ei ole, merkitään char(D) = 0. Karakteristika on aina joko nolla tai alkuluku, mikä nähdään seuraavasti: Oletetaan, että char(D) = n, $n\neq 0$. $n=n_{1}n_{2}$. Tällöin $n1=(n_{1}1)(n_{2}1)$ ja siis nollanjakajien puuttuessa $n_{1}1=0$ tai $n_{2}1=0$. Tarvittaessa muuttujat uudelleen nimeämällä saadaan $n_{1}1=0$. Luku n on kuitenkin karakteristikan määritelmän mukaan pienin tällaisen ehdon toteuttava luku, eli $n_{1}=n$. Siispä luvulla n ei voi olla epätriviaaleja tekijöitä.

Luokittelu eri karakteristikan mukaan on tärkeä tapa jaotella kokonaisalueita. Erityisen suuri ero on niiden kokonaisalueiden välillä, joiden char(D) = 0 (äärettömien) ja char(D) > 0 (äärettömien tai äärellisten). Ero tulee esimerkiksi näkyviin kuntalaajennusten yhteydessä.