Ero sivun ”Karakteristinen polynomi” versioiden välillä
[arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
p r2.5.2) (Botti lisäsi: sl:Karakteristični polinom (linearna algebra) |
p r2.7.1) (Botti lisäsi: kk:Сипаттауыш көпмүшелік |
||
Rivi 59: | Rivi 59: | ||
[[it:Polinomio caratteristico]] |
[[it:Polinomio caratteristico]] |
||
[[he:פולינום אופייני]] |
[[he:פולינום אופייני]] |
||
[[kk:Сипаттауыш көпмүшелік]] |
|||
[[nl:Karakteristieke polynoom]] |
[[nl:Karakteristieke polynoom]] |
||
[[ja:固有多項式]] |
[[ja:固有多項式]] |
Versio 27. elokuuta 2011 kello 22.31
Karakteristinen polynomi on neliömatriiseihin liittyvä käsite. Tämä polynomi sisältää useita matriisiin liittyviä ominaisuuksia, huomattavampina matriisin ominaisarvot, determinantti sekä jälki.
Motivaatio
Annetulle neliömatriisille A on löydettävä polynomi, jonka juuret ovat A:n ominaisarvot. Lävistäjämatriisille A karakteristinen polynomi on helppo määritellä: jos lävistäjäalkiot ovat muotoa ai, niin karakteristinen polynomi on muotoa
Tämä siksi, että lävistäjäalkiot ovat matriisin ominaisarvot.
Yleisen matriisin A tapauksessa voidaan menetellä seuraavasti. Jos λ on A:n ominaisarvo, niin on olemassa ominaisvektori v≠0 siten, että
- ,
tai
- ,
missä I on yksikkömatriisi. Koska vektori v on nollasta poikkeava, on matriisi singulaarinen, jolloin sen determinantti on 0. Tämän determinantista saadun polynomin
juuret ovat A:n ominaisarvoja. Koska funktio on polynomifunktio, on vaadittu karakteristinen polynomi löydetty.
Formaali määritelmä
Olkoon K kunta ja A K-kertoiminen n×n-matriisi. Matriisin A:n karakteristinen polynomi pA(t) on määritelmän mukaan
- ,
missä I on n×n yksikkömatriisi. Tämä on todellakin polynomi, sillä determinantti on määritelty summaksi matriisin alkioiden tuloista. Toisinaan määritellään karakteristinen polynomi kaavalla det(A − tI). Tästä saadaan alkuperäinen määritelmä kertomalla polynomi -1:llä.
Esimerkki
Lasketaan matriisin
karakteristinen polynomi. Tällöin on laskettava seuraavan matriisin determinantti:
Tämä determinantti on
Tämä on A:n karakteristinen polynomi, missä t on matriisin ominaisarvo.