Ylinumeroituva joukko

Ylinumeroituva joukko on matematiikassa joukko, joka ei ole numeroituva. Kansantajuisesti ylinumeroituvuus tarkoittaa sitä, että joukon alkioita ei voi järjestää (mahdollisesti loputtomaksi) jonoksi.

Numeroituvuus tarkoittaa, että joukon mahtavuus on äärellinen tai numeroituvasti ääretön. Tästä seuraa, että kaikki ylinumeroituvat joukot ovat äärettömiä. Ylinumeroituvan joukon mahtavuus on aidosti suurempi kuin $\aleph _{0}$, luonnollisten lukujen joukon mahtavuus.

Määritelmä

Joukko S on ylinumeroituva jos ja vain jos ei ole olemassa surjektiota

$f\colon \mathbb {N} \to S$

Esimerkki ylinumeroituvasta joukosta on reaalilukujen joukko $\mathbb {R}$. Se voidaan todistaa ylinumeroituvaksi Cantorin diagonaaliargumentilla; samanlaista tekniikkaa voidaan käyttää myös monien muiden joukkojen ylinumeroituvuuden osoittamiseen. Joukon $\mathbb {R}$. mahtavuutta merkitään usein $\beth _{1}=2^{\aleph _{0}}$. Toinen ylinumeroituva joukko on kaikkien luonnollisten lukujen joukon osajoukkojen joukko eli luonnollisten lukujen joukon potenssijoukko ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$. Sen voidaan osoittaa olevan yhtä mahtava kuin $\mathbb {R}$.

Kaikki ylinumeroituvat joukot eivät kuitenkaan ole samankokoisia. Kolmas esimerkki ylinumeroituvasta joukosta on kaikkien funktioiden f : $\mathbb {R}$.→$\mathbb {R}$. joukko. Tämä joukko on vielä reaalilukujenkin joukkoa "ylinumeroituvampi". Sen mahtavuutta merkitään $\beth _{2}$, joka on suurempi kuin $\beth _{1}$.

Ei kuitenkaan voi sanoa, että reaalilukuja olisi enemmän kuin vaikkapa kokonaislukuja, koska molempia on äärettömästi. Sen sijaan reaalilukujen joukko on kokonaislukujen joukkoa tiheämpi.