Tšebyšovin epäyhtälö

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Todennäköisyyslaskennassa Tšebyšovin epäyhtälön mukaan todennäköisyysavaruudessa lähes kaikki todennäköisyysjakauma jakautuu keskiarvon lähelle. Epäyhtälö on nimetty Pafnuti Tšebyšovin mukaan

Yleinen väittämä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Epäyhtälö esitetään usein mittateorian avulla. Tällöin todennäköisyysteoreettinen väittämä on mittateoreettisen väittämän erikoistapaus.

Mittateoreettinen muotoilu[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon (X,Σ,μ) mitta-avaruus ja f laajennettu reaaliarvoinen mitallinen funktio X:ssä. Tällöin kaikilla reaaliluvuilla t > 0,

Yleisemmin, jos g on epänegatiivinen reaaliarvoinen mitallinen funktio, joka ei ole vähenevä f:n määrittelyjoukossa, on

Edellinen väitös seuraa asettamalla

ja valitsemalla f:n asemesta |f|.

Todennäköisyysteoreettinen muotoilu[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon X satunnaismuuttuja odotusarvonaan μ ja äärellisenä varianssinaan σ2. Tällöin kaikilla reaaliluvuilla k > 0,

Ainoastaan tapaukset k > 1 tarjoavat hyödyllistä tietoa.

Esimerkiksi valitsemalla k=√2 huomataan, että vähintään puolet annetun jakauman arvoista sijaitsevat välillä (μ − √2 σ, μ + √2 σ).

Tšebyševin epäyhtälöä käytetään todistamaan heikko suurten lukujen laki.