Suoristuva joukko

Suoristuvat joukot ovat mittateorian sovelluksissa käytettävä joukkotyyppi, joilla on paljon sileiden monistojen ominaisuuksia mittateoreettisessa mielessä. Suoristuvuutta käytetään erityisesti fraktaalien teoreettisessa tutkimuksessa.

Määritelmä

Olkoon $E\subset \mathbb {R} ^{n}$ ja $m\in \mathbb {N}$. Nyt joukko E on m-suoristuva, jos on olemassa Lipschitz-kuvaukset $f_{i}:\mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$, joilla

${\mathcal {H}}^{m}(E\setminus \bigcup _{i=1}^{\infty }f_{i}(\mathbb {R} ^{m}))=0,$

missä ${\mathcal {H}}^{m}$ on m-ulotteinen Hausdorffin mitta.

Toisin sanoen m-suoristuvaa joukkoa voidaan approksimoida Lipschitz-kuvausten kuvajoukoilla mittateoreettisessa mielessä tarkasti.

Kirjallisuudessa joukkoa $F\subset \mathbb {R} ^{n}$ sanotaan puhtaasti m-epäsuoristuvaksi, jos jokaisella m-suoristuvalla $E\subset \mathbb {R} ^{n}$ pätee

${\mathcal {H}}^{m}(F\cap E)=0.$

Epäsuoristuvuutta ja puhtaasti epäsuoristuvuutta ei tule sekoittaa keskenään. Nimittäin on olemassa joukkoja, jotka eivät ole puhtaasti epäsuoristuvia, mutta ovat epäsuoristuvia (esimerkiksi puhtaasti epäsuoristuvan ja suoristuvan joukon erillinen yhdiste). Toisaalta voidaan osoittaa, että jokainen joukko $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ voidaan jakaa puhtaasti m-epäsuoristuvaan ja m-suoristuvaan osaan.

Esimerkkejä

• Suoristuvia joukkoja ovat mm. sileät m-monistot (m-suoristuvia) ja suoristuvat käyrät (1-suoristuvia).

• Puhtaasti 1-epäsuoristuvia ovat mm. Kochin lumihiutale ja Cantorin joukon tulojoukko itsensä kanssa.

Approksimatiivinen tangentti

Olkoon $E\subset \mathbb {R} ^{n}$, $x_{0}\in E$ ja $T:\mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ affiini kuvaus. Olkoon lisäksi $0<\alpha <1$ ja joukko

$S(x_{0},T,\alpha )=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:d(x,T(\mathbb {R} ^{m}))\leq \alpha |x-x_{0}|\},$

missä $d(x,T(\mathbb {R} ^{m}))=\inf _{y\in T(\mathbb {R} ^{m})}|x-y|$ on pisteen x etäisyys joukosta $T(\mathbb {R} ^{m})$.

Määritellään, että $T$ on joukon $E$ approksimatiivinen tangentti pisteessä $x_{0}$, jos jokaisella $0<\alpha <1$ on raja-arvo

$\lim _{r\rightarrow 0^{+}}{\frac {{\mathcal {H}}^{m}((E\cap B(x_{0},r))\setminus S(x_{0},T,\alpha ))}{r}}=0.$

Voidaan osoittaa, että m-suoristuvilla joukoilla on approksimatiivinen tangentti ${\mathcal {H}}^{m}$-melkein jokaisessa pisteessä $x_{0}\in E$.