Schifflerin piste

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Neljän Eulerin suoran sijoittuminen kolmionsa ympäristössä. Schifflerin piste on näiden leikkauspisteessä.

Schifflerin piste on tasogeometriassa kolmioon liittyvä merkillinen piste. Kolmion kulmanpuolittajat leikkaavat toisensa pisteessä I (Kimberlingin luettelossa \scriptstyle X_{1}), joka ei kuulu Eulerin suoralle. Eulerin suorat kolmioille \scriptstyle \triangle ABC, \scriptstyle \triangle ABI, \scriptstyle \triangle CAI ja \scriptstyle \triangle BCI leikkaavat toisensa aina riippumatta referenssikolmion muodosta. Tätä pistettä on alettu kutsumaan Scifflerin pisteeksi (engl. Schiffler point, saks. Schiffler-Punkt, port. Ponto de Schiffler) ja se on luetteloitu Kimberlingin luettelossa tunnuksella \scriptstyle X_{21}.[1][2][3]

Sijainti kolmiossa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pisteen trilineaariset koordinaatit ovat

\frac{1}{\cos \beta + \cos \gamma} \, : \, \frac{1}{\cos \gamma + \cos \alpha} \, : \, \frac{1}{\cos \alpha + \cos \beta}
= \frac{b+c-a}{b+c} \, : \, \frac{c+a-b}{c+a} \, : \, \frac{a+b-c}{a+b}, [1][2][3]

missä a, b, ja c ovat kolmion sivujen pituuksia ja \alpha, \beta ja \gamma ovat kolmion kulmia.

Pisteen barysentriset koordinaatit ovat

\frac{a(s-a)}{b+c} \, : \, \frac{b(s-b)}{c+a} \, : \, \frac{c(s-c)}{a+b}
= \frac{a}{\cos\beta+\cos\gamma} \, : \, \frac{b}{\cos\gamma+\cos\alpha} \, : \, \frac{c}{\cos\alpha+\cos\beta}. [2][3]

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Piste on isogonaalinen konjugaatti pisteelle \scriptstyle X_{65}.[3]

Kun tarkastellaan konstruktiota, jossa kolmion viereen ja sisälle on piirretty ympyrät, muodostuu siihen kolme ceviaania, jotka leikkaavat toisensa Schifflein pisteessä. Ensin ulkokeskukset yhdistetään kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipisteeseen. Nämä janat leikkaavat kolmion sivuja kantapisteissä, johon kolmion kärjistä piirretyt ja Schifflerin pisteessä leikkaavat ceviaanit osuvat.[4]

Edellisessä konstruktiossa piilee toinen tilanne, joka johtaa janojen kohtaamiseen Schifflein pisteessä. Kolmion viereen piirretty ympyrä sivuaa kolmion sivuja ja sen jatkeita kolmessa pisteessä. Kun sivun jatkeiden sivuamispisteet yhdistetään keskenään janalla, peilautuu kolmion sivun BC sivuamispiste A' sen yli pisteeksi A". Kun näin toimitaan kahden muunkin vierusympyrän kanssa, saadaan kolme janaa AA", BB" ja CC", jotka leikkaavat Schifflein pisteessä.[4]

Historia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Amatöörigeometrikko Kurt Schiffler (1896−1986) esitti Eulerin suorien leikkauspisteen olemassaolon. Pisteen olemassaolo todistettiin 1986, kun Schiffler, K., Veldkamp, G. R. ja van der Spek, W. A. ratkaisivat sen.[1]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b c Kimberling, Clark: Schiffler point
  2. a b c Weisstein, Eric W.: Schiffler Point (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  3. a b c d Kimberling, Clark: Schiffler point
  4. a b Emelyanov, Lev & Emelyanova, Tatiana: A note on the Schiffler point. Forum Geometricorum, 2003, nro 3, s. 113-116. Artikkelin verkkoversio (pdf) Viitattu 27.5.2013. (englanniksi)