Isogonaalinen konjugaatti

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Pisteen P isogonaalinen konjugaatti P*.

Isogonaalinen konjugaatti tason piste kolmiossa olevalle pisteelle , joka voidaan muodostaa peilaamalla kolmion kolmion kulmanjakajat kulmissa olevien kulmanpuolittajien suhteen. Silloin peilatut janat leikkaavat toisensa isogonaalisessa pisteessä .[1] Peilattuja janoja voidaan kutsua isogonaalisiksi janoiksi. Pisteelle on käytössä myös merkinnät ja .[2][3][4][5]

Sijainti kolmiossa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Trilineaariset koordinaatit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Isogonaalisten pisteiden trilineaariset koordinaatit ovat toistensa käänteislukuja. Jos merkitään pisteen koordinaatit

,

ovat tämän isogonaalisen konjugaatin koordinaatit

. [6]

Tästä on merkinnän negatiivinen yläindeksi peräisin.[7] Toisaalta myös

,

jolloin trilineaaristen koordinaattien perusteella voidaan ajatella pisteiden ja olevan toistensa isogonaalisia pisteitä.

Barysentriset koordinaatit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Isogonaalisten pisteiden barysentriset koordinaatit saadaan vastaavasti, kun on

ja isogonaaliset koordinaatit ovat

,

missä ovat kolmion sivujen pituuksia.[8]

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Seuraavat esimerkit merkillisistä pisteistä ovat toistensa isogonaalisia konjugaatteeja: [7]

Todistus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Todistetaan isogonaalisen konjugaatin olemassaolo jokaiselle kolmion sisäpisteelle , joka on kolmen kulmanjakajan AA', BB' ja CC' leikkauspisteessä. Isogonaaliset janat merkitään AA", BB" ja CC". Lausekkeet seuraavat oheisen kuvan merkintöjä, jossa suunnattujen janojen positiivinen suunta on vastapäivään eli A → B → C → A. Koska on janojen leikkauspiste, seuraa Cevan lauseesta [9]

Janat sinilausekkeiksi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sinilauseen avulla voidaan kolmiosta kirjoittaa Cevan lauseen ensimmäisen osamäärän osoittaja (janat positiivisesti suunnattuina)

ja kolmiosta ensimmäisen osamäärän nimittäjä

Koska kulmat ja ovat vieruskulmia (supplementtikulmat), joiden sinit ovat aina identtiset eli , saadaan Cevan lauseen ensimmäisestä osamäärästä

Vastaavalla tavalla sievennetään kaksi muutakin Cevan lauseen osamäärää

ja

ja sijoitetaan tulokset Cevan lauseeseen ja supistetaan

eli

Sinilausekkeet isogonaalisiksi janoiksi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jotta janat AA", BB" ja CC" leikkaisivat isogonaalisessa pisteessä , tulisi Cevan lauseen ehdot toteutua

Muodostetaan aluksi ensimmäisen osamäärän osoittaja ja nimittäjä, jotka sievennetään edelliseen tapaan. Sinilauseesta seuraa

ja

Nyt voidaan ensimmäinen osamäärä muodostaa ja supistaa

Lauseke muodostuu analogisesti samanmuotoiseksi kuin alussakin. Isogonisilla janoilla on samansuuruisia kulmia, kuten esimerkiksi ja jolloin

Kun tätä verrataan Cevan lauseen yhtälöön (1), huomataan samat kulmat sen ensimmäisessä osamäärässä. Kannattaa siis muodostaa muutkin osamäärät, vaihtaa kulmat ( ja sekä ja ) ja sijoittaa yhtälöön janoja esittävät lausekkeet, jolloin tulos saadaan supistamalla. Muut osamäärät ja kulmanvaihdot saadaan analogisesti:

ja

Sijoitus Cevan yhtälöön[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tämän käänteisluku on vaadittu Cevan lauseen ehto kollineaarisuudelle ja isogonaalisen konjugaatin olemassaololle:

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Wells, David: The Penquin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. Englanti: Penguin Group, 1991. ISBN 0-14-011813-6. (englanniksi)

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Barrow, D. F.: A Theorem about Isogonal Conjugates.. The American Mathematical Monthly, 1913, 20. vsk, nro 8, s. 251-253. Mathematical Association of America. ISSN 00029890. Artikkelin verkkoversio (pdf) Viitattu 15.5.2013. (englanniksi)
  2. Kimberling, Clark: Encyclopedia (html) Tekijän kotisivut. 2013. Evansville: Evansvillen Yliopisto. Viitattu 20.4.2013. (englanniksi)
  3. Weisstein, Eric W.: Cevian (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  4. Weisstein, Eric W.: Cevian Point (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  5. Weisstein, Eric W.: Isogonal Line (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  6. Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit (pdf) (tutkielma) 2012. Jyväskylä: Jyväskylän Yliopisto. Viitattu 20.4.2013.
  7. a b Weisstein, Eric W.: Isogonal Conjugate (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  8. Dean, Keith & van Lamoen, Floor: Geometric Construction of Reciprocal Conjugations. Forum Geometricorum, 2001, 1. vsk, s. 115-120. Florida, USA: Florida Atlantic University. ISSN 1534-1178. Artikkelin verkkoversio (pdf) Viitattu 15.5.2013. (englanniksi)
  9. Cherowitzo, Bill: Kurssi m3210 - Advanced Euclidean Geometry

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]