Isogonaalinen konjugaatti

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Pisteen P isogonaalinen konjugaatti P*.

Isogonaalinen konjugaatti \scriptstyle X^{-1} tason piste kolmiossa olevalle pisteelle \scriptstyle X, joka voidaan muodostaa peilaamalla kolmion kolmion kulmanjakajat kulmissa olevien kulmanpuolittajien suhteen. Silloin peilatut janat leikkaavat toisensa isogonaalisessa pisteessä \scriptstyle X^{-1}.[1] Peilattuja janoja voidaan kutsua isogonaalisiksi janoiksi. Pisteelle on käytössä myös merkinnät \scriptstyle X^{*} ja \scriptstyle X'.[2][3][4][5]

Sijainti kolmiossa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Trilineaariset koordinaatit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Isogonaalisten pisteiden trilineaariset koordinaatit ovat toistensa käänteislukuja. Jos merkitään pisteen koordinaatit

P = x:y:z,

ovat tämän isogonaalisen konjugaatin koordinaatit

 P^{-1} = x^{-1}:y^{-1}:z^{-1}. [6]

Tästä on merkinnän negatiivinen yläindeksi peräisin.[7] Toisaalta myös

 (P^{-1})^{-1} = (x^{-1})^{-1}:(y^{-1})^{-1}:(z^{-1})^{-1} = x:y:z = P,

jolloin trilineaaristen koordinaattien perusteella voidaan ajatella pisteiden \scriptstyle P ja \scriptstyle P^{-1} olevan toistensa isogonaalisia pisteitä.

Barysentriset koordinaatit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Isogonaalisten pisteiden barysentriset koordinaatit saadaan vastaavasti, kun on

P = x:y:z

ja isogonaaliset koordinaatit ovat

P^{-1} = a^2yz:b^2xz:c^2xy,

missä a, \, b \, ja \, c ovat kolmion sivujen pituuksia.[8]

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Seuraavat esimerkit merkillisistä pisteistä ovat toistensa isogonaalisia konjugaatteeja: [7]

Todistus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Todistetaan isogonaalisen konjugaatin \scriptstyle P^{-1} olemassaolo jokaiselle kolmion sisäpisteelle \scriptstyle P, joka on kolmen kulmanjakajan AA', BB' ja CC' leikkauspisteessä. Isogonaaliset janat merkitään AA", BB" ja CC". Lausekkeet seuraavat oheisen kuvan merkintöjä, jossa suunnattujen janojen positiivinen suunta on vastapäivään eli A → B → C → A. Koska \scriptstyle P on janojen leikkauspiste, seuraa Cevan lauseesta [9]

\frac{AC'}{C'B} \cdot \frac{BA'}{A'C} \cdot \frac{CB'}{B'A} =1.

Janat sinilausekkeiksi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sinilauseen avulla voidaan kolmiosta \scriptstyle \triangle AC\,'C kirjoittaa Cevan lauseen ensimmäisen osamäärän osoittaja (janat positiivisesti suunnattuina)

\frac{AC'}{\sin \measuredangle ACC'}=\frac{CA}{\sin \measuredangle CC'A} \Leftrightarrow AC' = \frac{CA \sin \measuredangle ACC'}{\sin \measuredangle CC'A}

ja kolmiosta \scriptstyle \triangle C\,'BC ensimmäisen osamäärän nimittäjä

\frac{C'B}{\sin \measuredangle C'CB}=\frac{BC}{\sin \measuredangle BC'C} \Leftrightarrow C'B = \frac{BC \sin \measuredangle C'CB}{\sin \measuredangle BC'C}.

Koska kulmat \scriptstyle \measuredangle CC'A ja \scriptstyle \measuredangle BC'C ovat vieruskulmia (supplementtikulmat), joiden sinit ovat aina identtiset eli \scriptstyle \sin \measuredangle CC'A = \sin \measuredangle BC'C, saadaan Cevan lauseen ensimmäisestä osamäärästä

\frac{AC'}{C'B} = \frac{\frac{CA \sin \measuredangle ACC'}{\sin \measuredangle CC'A}}{\frac{BC \sin \measuredangle C'CB}{\sin \measuredangle BC'C}} = \frac{\frac{CA \sin \measuredangle ACC'}{\cancel {\sin \measuredangle CC'A}}}{\frac{BC \sin \measuredangle C'CB}{\cancel {\sin \measuredangle BC'C}}} = \frac{CA \sin \measuredangle ACC'}{BC \sin \measuredangle C'CB}.

Vastaavalla tavalla sievennetään kaksi muutakin Cevan lauseen osamäärää

\frac{BA'}{A'C} = \frac{AB \sin \measuredangle BAA'}{CA \sin \measuredangle A'AC}

ja

\frac{CB'}{B'A} = \frac{BC \sin \measuredangle CBB'}{AB \sin \measuredangle B'BA}

ja sijoitetaan tulokset Cevan lauseeseen ja supistetaan

\frac{AC'}{C'B} \cdot \frac{BA'}{A'C} \cdot \frac{CB'}{B'A} =1 \Leftrightarrow \frac{\cancel{CA} \sin \measuredangle ACC'}{\cancel{BC} \sin \measuredangle C'CB} \cdot \frac{\cancel{AB} \sin \measuredangle BAA'}{\cancel{CA} \sin \measuredangle A'AC} \cdot \frac{\cancel{BC} \sin \measuredangle CBB'}{\cancel{AB} \sin \measuredangle B'BA} = 1 \Leftrightarrow

eli

\frac{\sin \measuredangle ACC'}{\sin \measuredangle C'CB} \cdot \frac{\sin \measuredangle BAA'}{\sin \measuredangle A'AC} \cdot \frac{\sin \measuredangle CBB'}{\sin \measuredangle B'BA} = 1.

Sinilausekkeet isogonaalisiksi janoiksi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jotta janat AA", BB" ja CC" leikkaisivat isogonaalisessa pisteessä \scriptstyle P^{-1}, tulisi Cevan lauseen ehdot toteutua

\frac{AC''}{C''B} \cdot \frac{BA''}{A''C} \cdot \frac{CB''}{B''A} =1.

Muodostetaan aluksi ensimmäisen osamäärän osoittaja ja nimittäjä, jotka sievennetään edelliseen tapaan. Sinilauseesta seuraa

\frac{AC''}{\sin \measuredangle ACC''}=\frac{CA}{\sin \measuredangle CC''A} \Leftrightarrow AC'' = \frac{CA \sin \measuredangle ACC''}{\sin \measuredangle CC''A}

ja

C''B = \frac{BC \sin \measuredangle C''CB}{\sin \measuredangle BC''C}.

Nyt voidaan ensimmäinen osamäärä muodostaa ja supistaa

\frac{AC''}{C''B} = \frac{\frac{CA \sin \measuredangle ACC''}{\sin \measuredangle CC''A}}{\frac{BC \sin \measuredangle C''CB}{\sin \measuredangle BC''C}} = \frac{\frac{CA \sin \measuredangle ACC''}{\cancel {\sin \measuredangle CC''A}}}{\frac{BC \sin \measuredangle C''CB}{\cancel {\sin \measuredangle BC''C}}} = \frac{CA \sin \measuredangle ACC''}{BC \sin \measuredangle C''CB}.

Lauseke muodostuu analogisesti samanmuotoiseksi kuin alussakin. Isogonisilla janoilla on samansuuruisia kulmia, kuten esimerkiksi \scriptstyle \measuredangle ACC' = \measuredangle C''CB ja \scriptstyle \measuredangle C'CB = \measuredangle ACC'', jolloin

\frac{AC''}{C''B} = \frac{CA \sin \measuredangle ACC''}{BC \sin \measuredangle C''CB} \Leftrightarrow \frac{AC'' \cdot BC}{C''B \cdot CA} = \frac{\sin \measuredangle ACC''}{\sin \measuredangle C''CB} \Leftrightarrow \frac{AC'' \cdot BC}{C''B \cdot CA} = \frac{\sin \measuredangle C'CB}{\sin \measuredangle ACC'}.

Kun tätä verrataan Cevan lauseen yhtälöön (1), huomataan samat kulmat sen ensimmäisessä osamäärässä. Kannattaa siis muodostaa muutkin osamäärät, vaihtaa kulmat (\scriptstyle \measuredangle BAA' = \measuredangle A''AC ja \scriptstyle \measuredangle A'AC = \measuredangle BAA'' sekä \scriptstyle \measuredangle CBB' = \measuredangle B''BA ja \scriptstyle \measuredangle B'BA = \measuredangle CBB'' ) ja sijoittaa yhtälöön janoja esittävät lausekkeet, jolloin tulos saadaan supistamalla. Muut osamäärät ja kulmanvaihdot saadaan analogisesti:

\frac{BA''}{A''C} = \frac{AB \sin \measuredangle BAA''}{AC \sin \measuredangle A''AC} \Leftrightarrow \frac{BA'' \cdot CA}{A''C \cdot AB} = \frac{\sin \measuredangle A'AC}{\sin \measuredangle BAA'}.

ja

\frac{CB''}{B''A} = \frac{BC \sin \measuredangle CBB''}{AB \sin \measuredangle B''BA} \Leftrightarrow \frac{CB'' \cdot AB}{B''A \cdot BC} = \frac{\sin \measuredangle B'BA}{\sin \measuredangle CBB'}.

Sijoitus Cevan yhtälöön[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

\frac{\sin \measuredangle ACC'}{\sin \measuredangle C'CB} \cdot \frac{\sin \measuredangle BAA'}{\sin \measuredangle A'AC} \cdot \frac{\sin \measuredangle CBB'}{\sin \measuredangle B'BA} = 1 \Leftrightarrow \frac{C''B \cdot CA}{AC'' \cdot BC} \cdot \frac{A''C \cdot AB}{BA'' \cdot CA} \cdot \frac{B''A \cdot BC}{CB'' \cdot AB} = 1 \Leftrightarrow
\frac{C''B \cdot \cancel{CA}}{AC'' \cdot \cancel{BC}} \cdot \frac{A''C \cdot \cancel{AB}}{BA'' \cdot \cancel{CA}} \cdot \frac{B''A \cdot \cancel{BC}}{CB'' \cdot \cancel{AB}} = 1 \Leftrightarrow \frac{C''B}{AC''} \cdot \frac{A''C}{BA''} \cdot \frac{B''A}{CB''} = 1

Tämän käänteisluku on vaadittu Cevan lauseen ehto kollineaarisuudelle ja isogonaalisen konjugaatin olemassaololle:

\frac{AC''}{C''B} \cdot \frac{BA''}{A''C} \cdot \frac{CB''}{B''A} = 1.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Wells, David: The Penquin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. Englanti: Penguin Group, 1991. ISBN 0-14-011813-6. (englanniksi)

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Barrow, D. F.: A Theorem about Isogonal Conjugates.. The American Mathematical Monthly, 1913, 20. vsk, nro 8, s. 251-253. Mathematical Association of America. ISSN 00029890. Artikkelin verkkoversio (pdf) Viitattu 15.5.2013. (englanniksi)
  2. Kimberling, Clark: Encyclopedia (html) Tekijän kotisivut. 2013. Evansville: Evansvillen Yliopisto. Viitattu 20.4.2013. (englanniksi)
  3. Weisstein, Eric W.: Cevian (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  4. Weisstein, Eric W.: Cevian Point (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  5. Weisstein, Eric W.: Isogonal Line (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  6. Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit (pdf) (tutkielma) 2012. Jyväskylä: Jyväskylän Yliopisto. Viitattu 20.4.2013.
  7. a b Weisstein, Eric W.: Isogonal Conjugate (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  8. Dean, Keith & van Lamoen, Floor: Geometric Construction of Reciprocal Conjugations. Forum Geometricorum, 2001, 1. vsk, s. 115-120. Florida, USA: Florida Atlantic University. ISSN 1534-1178. Artikkelin verkkoversio (pdf) Viitattu 15.5.2013. (englanniksi)
  9. Cherowitzo, Bill: Kurssi m3210 - Advanced Euclidean Geometry

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]