Rubikin kuutio

Rubikin kuutio

Rubikin kuutio on unkarilaisen Ernő Rubikin vuonna 1974 kehittämä älypeli. Alun perin Rubik suunnitteli sen arkkitehtiopiskelijoiden kolmiulotteisen ajattelun kehittämisen välineeksi. Rubikin kuutio on Seven Towns Limitedin tavaramerkki. Ernő Rubik patentoi kuution toimintaperiaatteen, mutta patentti on jo rauennut.

Kuvaus

Rubikin kuutio on kuutio, jonka jokainen sivu on jaettu yhdeksään osaan. Jokaista pintaa voi pyörittää, jolloin kuutio näyttää muodostuvan 26 pienemmästä kuutiosta. Lähtöasetelmassa kuution jokainen sivu on erivärinen, mutta kuutiota pyörittämällä pienemmät kuutiot voidaan saada lukuisiin eri asentoihin. Tavoitteena on palauttaa kuutio lähtöasetelmaan mistä tahansa asennosta.

Muunnoksia

Pääartikkeli: Rubikin kuution eri versiot

Rubikin kuutioista on myöhemmin kehitetty monta muunnosta. Normaali Rubikin kuutio on kooltaan 3×3×3. Pienempää 2×2×2-kuutiota sanotaan taskukuutioksi. On olemassa myös Rubikin palloja, numerokuutioita, nuolikuutioita, pyraminx, square-1, megaminx, lautapeli ja monia muita, kuten oskar van deventerin tekemä 17x17 kuutio.

Ratkaisut

Rubikin kuutio (3x3x3), Rubikin taskukuutio (2x2x2), Rubikin 4x4x4 kuutio sekä Rubikin mestareiden kuutio (5x5x5). On olemassa myös 6x6x6 ja 7x7x7 ja aina 17x17 kuutioon asti.

Kuutio voi olla

$(8! \cdot 3^{8-1}) \cdot (\frac{12!}{2} \cdot 2^{12-1}) = 43 \, 252 \, 003 \, 274 \, 489 \, 856 \, 000 \approx 43 \cdot 10^{18}$

eli noin 43 triljoonassa eri asennossa.

Kaavan ymmärtämiseksi määritellään, että kuutiossa on kolmenlaisia paloja:

8 "nurkkapalaa", joista on näkyvissä 3 tahoa

12 "kulmapalaa", joista on näkyvissä 2 tahoa

6 "keskipalaa", joista on äkyvissä 1 taho

Keskipalat pysyvät kuutiota käännellessä aina samassa asennossa toisiinsa nähden. Kuutio voidaan siis aina kääntää esimerkiksi niin, että "valkoinen" on katsojaan päin ja "sininen" on ylhäällä, jolloin muut värit ovat aina samalla paikalla. Nurkkapalat liikkuvat suhteessa keskipaloihin vapaasti, joten niiden paikka voidaan määrätä 8! eri tavalla. Nurkkapalat voivat olla vapaasti kolmessa eri asennossa kuitenkin siten, että kun 7 palaa on asetettu johonkin asentoon, kahdeksannen kulmapalan asento on määrätty > kerroin 3⁷.

Kulmapalat voidaan sijoittaa vapaasti, kunnes jäljellä on viimeiset kaksi, joten ne voidaan sijoittaa 12 x 11 x … x 3 = 12!/2 eri tavalla. Kukin kulmapala voidaan asettaa kahteen asentoon, mutta viimeisen palan asento määrittyy samalla, kun toiseksi viimeisen palan asento määrätään > kerroin 2¹¹.

Rubikin kuution ratkaiseminen mistä asennosta tahansa on laskettu olevan mahdollista korkeintaan 20 siirrolla. Tästä on tuskin enää mahdollista päästä alaspäin. Jos yksinkertainen edellisen siirron palautus jätetään pois laskuista, 19 siirtoa voidaan nimittäin tehdä

$12 \cdot 11^{18} \approx 67 \cdot 10^{18}$

eri tavalla, joka on vain noin 1,5 kertaa mahdollisten asentojen määrä. Siirtoyhdistelmiä tarvitaan selkeästi useampia kuin on mahdollisia asentoja, sillä yhteen tiettyyn asentoon voidaan päästä useaa eri reittiä pitkin.

Matemaattinen lähestymistapa

Matemaattisesti tarkasteltuna Rubikin kuutio on oivallinen esimerkki ryhmäteorian, erityisesti permutaatioryhmien teorian, sovellutuksista.

Kuution ominaisuuksia voidaan lähteä tarkastelemaan esimerkkinä $6\times 9=54$ alkion permutaatioryhmistä. Jokainen sivujen kierto vastaa yhtä permutaatiota.

Permutaatioryhmien käsittelyä varten on olemassa lukuisia erityisohjelmia. Esimerkki tällaisesta ohjelmistosta on ryhmäteoreetikoiden kehittämä Magma-ohjelmisto.

Toinen esimerkki matemaattisesti ja ryhmäteoreettisesti mielenkiintoisesta, mutta yksinkertaisemmasta pelistä on 15-peli.

Asetelmien lukumäärä ja rajoitukset

Jos jokainen kuution kärkipala voisi toisistaan riippumatta olla missä tahansa 8 kärkikohdasta ja missä tahansa kolmesta mahdollisesta asennostaan ja jokainen särmän keskuspala voisi toisistaan riippumatta olla missä tahansa 12 särmäkohdasta ja missä tahansa kahdesta mahdollisesta asennostaan, koko Rubikin kuution mahdollisten asetelmien lukumäärä olisi vieläkin suurempi:

$(8! \cdot 3^8) \cdot (12! \cdot 2^{12}) = 519 \, 024 \, 039 \, 293 \, 878 \, 272 \, 000 \approx 519 \cdot 10^{18}$

Sanallisesti ilmaistuna kaava tarkoittaa, että kahdeksan kulmapalaa voitaisiin sijoittaa vapaasti ja kukin niistä voitaisiin kääntää kolmeen eri asentoon ja että 12 särmän keskipalaa voitaisiin sijoittaa vapaasti ja kukin niistä kääntää kahteen eri asentoon.

On kuitenkin todistettu, ettei kuutiota voida lähtöasetelmastaan millään sivujen pyöritysten sarjalla saattaa sellaiseen asentoon, joka eroaa lähtöasetelmasta vain siten, että yksi kulmapaloista on toisessa asennossa. Sitä vastoin se voidaan kyllä saattaa asentoon, jossa joko yksi kulmapala on kiertynyt 1/3 kierrosta myötäpäivään lähtöasetelmaan nähden ja toinen 1/3 kierrosta vastapäivään, tai myös sellaiseen, jossa kolme kulmapalaa ovat kiertyneet 1/3 kierrosta joko kaikki myötäpäivään tai kaikki vastapäivään.

Kuutiota ei myöskään voida saattaa sellaiseen asentoon, joka eroaisi lähtöasetelmasta vain siten, että yksi tai muu pariton määrä kuution särmien keskuspaloja olisi kääntynyt toiseen asentoon. Lisäksi särmien keskuspalojen sijaintia koskee rajoitus, jonka mukaan vain kymmenen kahdestatoista voidaan sijoittaa vapaasti, minkä jälkeen kahden viimeisen paikkaa ei enää voi vaihtaa keskenään.

Kaikki asetelmat, joihin kuutio voitaisiin tällaisista poissuljetuista asennoista sivuja pyörittämällä saattaa, ovat myös mahdottomia. Nämä rajoitukset pienentävät mahdollisten asentojen määrän 1/12 -osaan yllä lasketusta "teoreettisesta" maksimista. Loput asennot voidaan saavuttaa vain rikkomalla kuutio ja kokoamalla se eri tavalla, jolloin ei ole enää mahdollista saada kuutiota kääntelemällä sellaiseen asentoon, että jokaisella sivulla olisi vain yhtä väriä.

Ennätykset

^lähde?

Laji	Yksittäinen ratkaisu	Keskiarvo
2x2x2	0,69	1,60
3x3x3	5,55	6,54
4x4x4	26,75	35,22
5x5x5	54,86	57,94
Pyraminx	1,93	3,39
3x3x3 sokkona	23,80	*
3x3x3 yhdellä kädellä	9,53	12,67
3x3x3 jaloilla	25.14	30.57
Vähiten siirtoja 3x3x3	20	*

Rubikin kuution ratkaisemisen virallinen maailmanennätys on 5, 55 sekuntia (2013). Ennätystä pitää hallussaan hollantilainen Mats Valk.

Rubikin kuution suomenennätys on Anssi Vanhalalla (8,06 sek.; 2012).

Unkarilainen Marcell Endrey pitää hallussaan 4x4x4-kuution sokkona ratkaisemisen (2:30.62; 2013)ja 5x5x5-kuution sokkona ratkaisemisen (6:06.41; 2013) maailmanennätystä.

Viiden tuloksen keskiarvon ennätys, 6, 54 sekuntia , on myös australialaisen Feliks Zemdegsin nimissä.

Jaloilla ratkaisun maailmanennätyksen, 25.14 sekuntia (2012), tekijä on Gabriel Pereira Campanha Braziliasta.

Ensimmäiset maailmanmestaruuskilpailut pidettiin kesäkuussa 1982. Ne voitti yhdysvaltalainen vietnamilaissyntyinen Minh Thai ajalla 22,95 sekuntia.

20 siirron menetelmä elokuussa 2010

Ratkaisuun tarvittavien siirtojen maksimimäärää selvitti kesällä 2010 projektiryhmä, johon kuuluivat Morley Davidson, John Dethridge, Herbert Kociemba ja Tomas Rokicki. Laskennassa käytettiin Googlen käyttämien tietokoneiden ns. idle-aikaa (joutoaikaa) ja sen tuloksena Rubikin kuution voi ratkaista mistä tahansa lähtötilanteesta enimmillään 20 siirrolla. Pienintä lukua, jolla kaikki Rubikin kuution tilanteet voidaan ratkaista, kutsutaan "Jumalan luvuksi".

Säännöt

Viralliset WCA:n säännöt:

3x3x3

Ennen ratkaisua kuutio sekoitetaan tietokoneen arpomalla sekoituksella (26 siirtoa). Alkutilanteessa sekoitettu kuutio tuodaan kilpailijalle pienessä laatikossa. Kuution sekoitus on kaikille sama ja sekoitus tehdään niin että muut eivät näe sitä. Kilpailijalla on 15 sekuntia aikaa katsella kuutiota. Kuution käänteleminen on kielletty. Kun aika on kulunut umpeen, kuutio laitetaan laatikon sisään. Kun tuomari on nostanut laatikon, kello aloittaa ajan laskemisen. Jos kuutio on yhtä siirtoa vaille valmis, ratkaisu on "+2". Tällöin aikaan lisätään 2 sekuntia. Jos taas kuutio on 2 siirtoa vaille valmis, tulos hylätään. Kuutio jota ei ratkaista loppuun asti tai tulos hylätään merkitään tulokseksi "DNF" (did not finish). Mikäli ratkaisua ei aloiteta ollenkaan on tilanne "DNS" (did not start). Kuutio ratkaistaan 5 kertaa, joista paras ja huonoin aika karsitaan pois ja sen jälkeen lasketaan keskiarvo. (poikkeus: jos ratkaisijalla on 2-5 kokonaan hylättyä aikaa, keskiarvoa ei lasketa.) Muut säännöt:

• Kuution tarrat eivät saa olla liian paksuja, koska tällöin värit pystyy näkemään ilman kuution kääntämistä kädessä, jolloin kilpailijalle jää enemmän miettimisaikaa. (kilpailija siis näkee toisen sivun tarrat ilman että hän kääntää kuutiota niin että näkisi kyseisen sivun.)

Sokkona ratkaisu

Sokkona ratkaisussa kuution värit on muistettava ilman muita apuja. Sokkoratkaisussa aika lähtee käyntiin heti kun kuutio näytetään. Kuutiota saa katsella niin kauan kuin itse haluaa. Kuutio ratkaistaan sokkona ratkaisussa 3 kertaa. Kuution tunnusteleminen on kielletty.

Yhdellä kädellä

Yhdellä kädellä ratkaisussa on lähes samat säännöt kuin normaalissa kuution ratkonnassa. Yhden käden rubikin kuution ratkaisemisen maailmanennätys on puolalaisella Piotr Alexandrowiczillä. Hänen aikansa on 11,19 sekuntia.

Poikkeavat säännöt:

• Kuutio ei saa osua maahan ratkaisun aikana.
• Katseluaikana kuutiota on pidettävä yhdessä kädessä (sekä ratkaisuvaiheessa).

Jaloilla ratkaisu

Jaloilla ratkaisussa kuutio ratkaistaan jaloilla 3 kertaa joista lasketaan keskiarvo. Jarrusukkien käyttö on koettu liian helpottavaksi tekijäksi ja ne ovat usein kielletty.

Lähteet

• http://cubeland.free.fr/infos/infos.htm
• https://www.worldcubeassociation.org/results/regions.php

Kirjallisuutta

• Toukomies, Veli: Rubikin kuution uusi maailma. Tampere: Pop-kirjat, 1982. ISBN 951-9374-38-8.

Aiheesta muualla

• Viralliset WCA:n tulokset ym.
• Animation
• Rubikin kuution online-versioita:
  • Rubikin kuutio (Java-sovelma): http://www.schubart.net/rc/
  • Kolmas versio (jossa parempi 3D-tuntuma): http://www.andkon.com/arcade/puzzle/rubikscube/
  • ActiveX-versio (opettele ratkaisemaan kuutio): http://www.carobit.com/rubik/rubik.html
• Rubikin kuutio ja permutaatioryhmät sisältää teoriaa ja ratkaisuohjeet
• YLE Elävä arkisto: Rubikin kuutio
• MikroPC verkkoversio 13.8.2010: Rubikin kuutio ratkesi Googlen joutoajalla
• YouTube-video ratkaisusta