Modulaariaritmetiikan käänteisluku

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Modulaariaritmetiikan käänteisluku on modulaari- eli jakojäännösaritmetiikan keskeisiä käsitteitä.

Kokonaisluvut ja ovat toistensa käänteislukuja modulo , missä on nollasta eroava kokonaisluku, jos

Modulaariaritmetiikan käänteislukuja voidaan käyttää mm. kongruenssiyhtälöitä ratkaistaessa.

Kongruenssista seuraa, että . Toisin sanoen luvut ja (samoin kuin luvut ja ) ovat keskenään jaottomia.

Tämä on välttämätön ja riittävä ehto käänteisluvun olemassaololle.

Modulaariaritmetiikan käänteislukuja voidaan laskea mm. käyttämällä Eulerin lausetta, Fermat'n pientä lausetta tai laajennettua Eukleideen algoritmia.

Laajennettu Eukleideen algoritmi antaa modulaariaritmetiikan käänteislukujen laskemiseen yleispätevän ja tehokkaan laskumenetelmän.

Laskeminen Fermat'n pienen lauseen avulla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos on alkuluku, merk. , niin

ts.

Luku on siis eräs luvun käänteisluku modulo .

Luvun pienin ei-negatiivinen jakojäännös modulo voidaan laskea tehokkaasti modulaariaritmetiikan potenssiinkorotusalgoritmia käyttäen.

Menetelmän rajoituksena on se, että moduulin tulee olla alkuluku.

Laskeminen Eulerin lauseen avulla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos , niin Eulerin lauseen mukaan

ts.

Luku on siis eräs luvun käänteisluku modulo .

Luvun pienin ei-negatiivinen jakojäännös modulo voidaan laskea tehokkaasti modulaariaritmetiikan potenssiinkorotusalgoritmia käyttäen.

Menetelmän rajoituksena on se, että Eulerin funktion arvon laskemiseksi luvun alkutekijöihin jaon pitää yleensä olla tunnettu.

Laskeminen laajennetun Eukleideen algoritmin avulla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoot ja kokonaislukuja, ja . Luvun käänteisluku modulo , merk. saadaan tällöin rekursiivisesti seuraavasti:

1. Jos , niin

2. Muulloin

missä on funktio, joka antaa luvun pienimmän ei-negatiivisen jakojäännöksen luvulla jaettaessa.

Esimerkiksi Mathematica-ohjelmistossa modulaariaritmetiikan käänteisluvun laskeva funktio voitaisiin tätä rekursiota käyttäen määrittää yhdellä rivillä:

Mathematica-ohjelmistosta löytyy tähän tarkoitukseen kuitenkin myös valmiiksi ohjelmoitu funktio.