Laplacen muunnos

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Laplace-muunnos on eräs yleisimmin käytetyistä integraalimuunnoksista. Muunnoksella on käytännön sovelluksia monilla fysiikan osa-alueilla, erityisesti elektroniikassa sekä matematiikassa todennäköisyyslaskennassa. Laplace-muunnosta voidaan käyttää myös differentiaaliyhtälöiden alkuarvotehtävien ratkaisemiseen.[1]

Mielivaltaisen funktion f(t), joka on määritelty kaikilla t>0, Laplace-muunnos määritellään integraalina:

,


missä .[1] Joskus käytetään myös kaksipuolista muotoa:


Yleisessä tapauksessa muunnoksen argumentti on kompleksiluku: , missä on imaginääriyksikkö ja . Laplace-muunnoksen käänteismuunnos tunnetaan Bromwichin integraalina. Se on kompleksinen integraali:


Laplace-muunnoksen ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]



  • Signaalinkäsittelyssä käytännöllinen on alku- ja loppuarvoteoreema:



  • Erityisen kiintoisa on funktion derivaatan Laplace-muunnos:
[2]


Tämän ominaisuuden avulla differentiaaliyhtälö voidaan muuttaa algebralliseksi yhtälöksi, jonka ratkaiseminen on tyypillisesti paljon differentiaaliyhtälöä yksinkertaisempaa.

Yleensä on Laplace-muunnosta käytettäessä kätevää käyttää valmiita muunnoskaavoja, joita on taulukoitu erilaisille funktioille. Seuraavassa on keskeisimpiä:[2],[3]

Funktio Laplace-muunnos Rajoitteet
1 s>0
s>0
s>0
s>0
s>0
s>0


Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b Kekäläinen, P.: ”3. Toisen kertaluvun lineaarinen yhtälö”, Differentiaaliyhtälöt, s. 72. Jyväskylä: Jyväskylän yliopisto, matematiikan laitos, 2000. ISBN 951-39-0810-0.
  2. a b Kekäläinen, P.: ”3. Toisen kertaluvun lineaarinen yhtälö”, Differentiaaliyhtälöt, s. 73. Jyväskylä: Jyväskylän yliopisto, matematiikan laitos, 2000. ISBN 951-39-0810-0.
  3. Valtanen, E.: ”20. Laplace-muunnokset”, Matematiikan ja fysiikan käsikirja, s. 152-153. Genessis-Kirjat Oy, 2007. ISBN 978-952-9867-28-8.

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Väisälä, Kalle: Matematiikka V: Laplace-muunnos. Espoo: Otakustantamo, 1980 (1965). ISBN 951-671-020-4.
  • Oppenheim, Alan V.; Willsky Alan S.; with Nawab, Syed Hamid: Signals and Systems, s. 1-957. Prentice-Hall Signal Processing Series, 1997 (1983). ISBN 0-13-651175-9.

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.