Laplacen muunnos

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Laplace-muunnos on eräs yleisimmin käytetyistä integraalimuunnoksista. Muunnoksella on käytännön sovelluksia monilla fysiikan osa-alueilla, erityisesti elektroniikassa sekä matematiikassa todennäköisyyslaskennassa. Laplace-muunnosta voidaan käyttää myös differentiaaliyhtälöiden alkuarvotehtävien ratkaisemiseen.

Mielivaltaisen funktion f(t), joka on määritelty kaikilla t>0, Laplace-muunnos määritellään integraalina:

F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_{0^-}^{\infty}e^{-st}f(t)dt,


missä 0- = \lim_{\epsilon \rightarrow +0} -\epsilon. Joskus käytetään myös kaksipuolista muotoa:

\mathcal{L}\{f(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-st}f(t)dt


Yleisessä tapauksessa muunnoksen argumentti s on kompleksiluku: s = \sigma_1 + i\sigma_2, missä i on imaginääriyksikkö ja \sigma_1, \sigma_2 \in \mathbb{R}. Laplace-muunnoksen käänteismuunnos tunnetaan Bromwichin integraalina. Se on kompleksinen integraali:

f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = \frac{1}{2 \pi i} \int_{ \gamma - i\infty}^{ \gamma + i\infty} e^{st} F(s)ds


Laplace-muunnoksen ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

\mathcal{L}\{af(t) + bg(t)\} = aF(s) + bG(s)


\mathcal{L}\{f(t) * g(t)\} = F(s)G(s)


  • Signaalinkäsittelyssä käytännöllinen on alku- ja loppuarvoteoreema:
\lim_{t \rightarrow 0} f(t)= \lim_{s \rightarrow \infty} sF(s)


\lim_{s \rightarrow 0} sF(s)= \lim_{t \rightarrow \infty} f(t)


  • Erityisen kiintoisa on funktion derivaatan Laplace-muunnos:
\mathcal{L}\{\frac{df}{dt}\} = s\mathcal{L}\{f(t)\}-f(0)


Tämän ominaisuuden avulla differentiaaliyhtälö voidaan muuttaa algebralliseksi yhtälöksi, jonka ratkaiseminen on tyypillisesti paljon differentiaaliyhtälöä yksinkertaisempaa.


Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.