Laplacen muunnos

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Laplace-muunnos on eräs yleisimmin käytetyistä integraalimuunnoksista. Muunnoksella on käytännön sovelluksia monilla fysiikan osa-alueilla, erityisesti elektroniikassa sekä matematiikassa todennäköisyyslaskennassa. Laplace-muunnosta voidaan käyttää myös differentiaaliyhtälöiden alkuarvotehtävien ratkaisemiseen.[1]

Mielivaltaisen funktion f(t), joka on määritelty kaikilla t>0, Laplace-muunnos määritellään integraalina:

Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): F(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}=\int _{{0^{-}}}^{{\infty }}e^{{-st}}f(t)dt ,


missä .[1] Joskus käytetään myös kaksipuolista muotoa:

Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\mathcal {L}}\{f(t)\}=\int _{{-\infty }}^{{\infty }}e^{{-st}}f(t)dt


Yleisessä tapauksessa muunnoksen argumentti on kompleksiluku: , missä Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): i on imaginääriyksikkö ja Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \sigma _{1},\sigma _{2}\in {\mathbb {R}} . Laplace-muunnoksen käänteismuunnos tunnetaan Bromwichin integraalina. Se on kompleksinen integraali:

Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): f(t)={\mathcal {L}}^{{-1}}\{F(s)\}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{{\gamma -i\infty }}^{{\gamma +i\infty }}e^{{st}}F(s)ds


Laplace-muunnoksen ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]


Jäsentäminen epäonnistui (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\mathcal {L}}\{f(t)*g(t)\}=F(s)G(s)


  • Signaalinkäsittelyssä käytännöllinen on alku- ja loppuarvoteoreema:


Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \lim _{{s\rightarrow 0}}sF(s)=\lim _{{t\rightarrow \infty }}f(t)


  • Erityisen kiintoisa on funktion derivaatan Laplace-muunnos:
Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\mathcal {L}}\{{\frac {df}{dt}}\}=s{\mathcal {L}}\{f(t)\}-f(0) [2]


Tämän ominaisuuden avulla differentiaaliyhtälö voidaan muuttaa algebralliseksi yhtälöksi, jonka ratkaiseminen on tyypillisesti paljon differentiaaliyhtälöä yksinkertaisempaa.

Yleensä on Laplace-muunnosta käytettäessä kätevää käyttää valmiita muunnoskaavoja, joita on taulukoitu erilaisille funktioille. Seuraavassa on keskeisimpiä:[2],[3]

Funktio Laplace-muunnos Rajoitteet
1 Jäsentäminen epäonnistui (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\frac {1}{s}} s>0
Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): e^{{ax}} Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\frac {1}{s-a}}
Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\frac {n!}{s^{{n+1}}}} s>0
Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \sin(ax) Jäsentäminen epäonnistui (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\frac {a}{s^{{2}}+a^{{2}}}} s>0
Jäsentäminen epäonnistui (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): \cos(ax) s>0
Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \sinh(ax) Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\frac {a}{s^{{2}}-a^{{2}}}} s>0
Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \cosh(ax) s>0


Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b Kekäläinen, P.: ”3. Toisen kertaluvun lineaarinen yhtälö”, Differentiaaliyhtälöt, s. 72. Jyväskylä: Jyväskylän yliopisto, matematiikan laitos, 2000. ISBN 951-39-0810-0.
  2. a b Kekäläinen, P.: ”3. Toisen kertaluvun lineaarinen yhtälö”, Differentiaaliyhtälöt, s. 73. Jyväskylä: Jyväskylän yliopisto, matematiikan laitos, 2000. ISBN 951-39-0810-0.
  3. Valtanen, E.: ”20. Laplace-muunnokset”, Matematiikan ja fysiikan käsikirja, s. 152-153. Genessis-Kirjat Oy, 2007. ISBN 978-952-9867-28-8.

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.