Kommutaattori (matematiikka)

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Ryhmäteoriassa ryhmän G alkioiden x ja y kommutaattori on ryhmän G alkio [x, y] = x−1y−1xy.[1] Kommutaattorin voidaan ajatella mittaavan eräällä tavalla alkioiden kommutointia.

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Alkioiden x ja y kommutaattori liittyy olennaisesti alkioideen vaihdannaisuuteen, sillä xy = yx[x, y]. Täten alkiot x ja y kommutoivat (eli ovat vaihdannaisia) täsmälleen silloin, kun kommutaattori [x, y] on ryhmän G neutraalialkio.

Suoraan laskemalla voidaan todistaa kommutaattorille seuraavia ominaisuuksia:

Jos A ja B ovat ryhmän G osajoukkoja, niin ryhmän G aliryhmä on joukon

generoima aliryhmä. Aliryhmä

on ryhmän G derivaattaryhmä.[2] Erityisesti ryhmä G on Abelin ryhmä, jos ja vain jos

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Humphreys, John F.: A Course in Group Theory. Oxford: Oxford University Press, 1996. ISBN 0-19-853459-0. (englanniksi)

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Humphreys, s. 148
  2. Humphreys, s. 149