Kommutaattori (matematiikka)

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Ryhmäteoriassa ryhmän G alkioiden x ja y kommutaattori on ryhmän G alkio [x, y] = x−1y−1xy. Kommutaattorin voidaan ajatella mittaavan eräällä tavalla alkioiden kommutointia.

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Alkioiden x ja y kommutaattori liittyy olennaisesti alkioideen vaihdannaisuuteen, sillä xy = yx[x, y]. Täten alkiot x ja y kommutoivat (eli ovat vaihdannaisia) täsmälleen silloin, kun kommutaattori [x, y] on ryhmän G neutraalialkio.

Suoraan laskemalla voidaan todistaa kommutaattorille seuraavia ominaisuuksia:

Jos A ja B ovat ryhmän G osajoukkoja, niin ryhmän G aliryhmä on joukon

generoima aliryhmä. Aliryhmä

on ryhmän G derivaattaryhmä. Erityisesti ryhmä G on Abelin ryhmä jos ja vain jos