Kiinalainen jäännöslause

Kiinalainen jäännöslause on matematiikassa lukuteoriaan, tarkemmin sanottuna kongruensseihin liittyvä tulos.

Teoreema

Teoreeman julkaisi ensimmäisen kerran kiinalainen matemaatikko Sun Tzu kolmannella vuosisadalla. Vuonna 1247 toinen kiinalainen matemaatikko Qin Jiushao käsitteli teoreemaa kirjassaan. Myös intialainen 600-luvun matemaatikko Brahmagupta tunsi lauseen versioita ja lause on esitetty myös Fibonaccin kirjassa Liber Abaci (1202).

Olkoot n₁, n₂, …, n_k positiivisia kokonaislukuja jotka ovat pareittain keskenään jaottomia. Silloin mille tahansa kokonaisluvuille a₁,a₂, …, a_k, on olemassa kokonaisluku x joka ratkaisee kongruenssiyhtälöryhmän

${\begin{aligned}x&\equiv a_{1}{\pmod {n_{1}}}\\x&\equiv a_{2}{\pmod {n_{2}}}\\&\vdots \\x&\equiv a_{k}{\pmod {n_{k}}}\end{aligned}}$

Lisäksi kaikki ratkaisut x ovat kongruentteja modulo N, missä N = n₁n₂…n_k.

Näin ollen $x\equiv y{\pmod {n_{i}}}$, kaikille $1\leq i\leq k$, jos ja vain jos $x\equiv y{\pmod {N}}$.

Joissain tapauksissa kongruenssiyhtälöryhmät voidaan ratkaista vaikka n_i:t eivät olisi pareittain keskenään jaottomia. Ratkaisu x on olemassa jos ja vain jos:

$a_{i}\equiv a_{j}{\pmod {{pyj}(n_{i},n_{j})}}\qquad {\mbox{kaikilla }}i{\mbox{ ja }}j.\,\!$

Kaikki ratkaisut x ovat siten kongruentteja modulo pienin yhteinen jaettava (pyj) n_i.

Teoreema voidaan esittää myös modernimmassa algebrallisessa muodossa seuraavasti:

Kokonaislukujen modulo $n$ rengas $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ ,jossa $n$ voidaan kirjoittaa alkulukujen tulona seuraavasti $n=p_{1}^{r_{1}}p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}$.

Kun $p_{i}$:t ovat eri alkulukuja, niin rengas $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ on luonnollisesti isomorfinen tulorenkaan $\mathbb {Z} /p_{1}^{r_{1}}\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /p_{2}^{r_{2}}\mathbb {Z} \times \cdots \times \mathbb {Z} /p_{k}^{r_{k}}\mathbb {Z}$ kanssa.

Todistus

Tässä esitettävä todistus on muotoiltu Kenneth H. Rosen kirjan Elementary Number Theory and Its Applications (1993) perusteella.

Jaetaan todistus kahteen osaan. Konstruoidaan ensin ratkaisu ja todistetaan sitten ratkaisun yksikäsitteisyys.

Konstruoidaan ensin ratkaisu:

Merkitään $N_{k}=N/n_{k}=n_{1}n_{2}...n_{k-1}n_{k}...n_{r}$. Koska luvut $n_{1},n_{2},...,n_{r}$ ovat pareittain suhteellisia alkulukuja, niin $syt(N_{k},n_{k})=1$. Näin ollen luvulla $N_{k}$ on käänteisluku modulo $n_{k}$. Merkitään tätä käänteislukua symbolilla $b_{k}$, jolloin $N_{k}b_{k}\equiv 1{\pmod {n_{k}}}$.

Nyt voimme muodostaa summan

$x=a_{1}N_{1}b_{1}+a_{2}N_{2}b_{2}+...+a_{r}N_{r}b_{r}$.

Osoitetaan nyt, että kokonaisluku $x$ on kongruenssiryhmän ratkaisu. Tehdään tämä osoittamalla, että $x\equiv a_{k}{\pmod {n_{k}}}$ kaikilla $k=1,2,...,r$. Koska $n_{j}\mid N_{k}$, kun $j\neq k$, niin $N_{j}\equiv 0{\pmod {n_{k}}}$. Näin ollen, $x\equiv a_{k}N_{k}b_{k}\equiv a_{k}{\pmod {n_{k}}}$. Koska $N_{k}b_{k}\equiv 1{\pmod {n_{k}}}$, niin $x\equiv a_{k}{\pmod {n_{k}}}$. Siis $x$ on kongruenssiryhmän ratkaisu.

Todistetaan, että ratkaisu on yksikäsitteinen modulo $N$. Olkoot $x_{0}$ ja $x_{1}$ kaksi kongruenssiryhmän ratkaisua. Silloin jokaista lukua $k=1,2,...,r$ kohti on $x_{0}\equiv x_{1}\equiv a_{k}{\pmod {n_{k}}}$, joten jokaista lukua $k=1,2,...,r$ kohti $n_{k}\mid (x_{0}-x_{1})$. Näin ollen $N\mid (x_{0}-x_{1})$ eli $x_{0}\equiv x_{1}{\pmod {N}}$.

Ratkaisukaava

Kun $n_{i}$:t ovat pareittain suhteellisia alkulukuja voidaan kongruenssiyhtälöryhmä ratkaista seuraavan kaavan avulla:

$x=a_{1}b_{1}{\frac {N}{n_{1}}}+\ldots +a_{k}b_{k}{\frac {N}{n_{k}}}{\pmod {N}}$,

missä kertoimet $b_{i}$ saadaan ratkaistua yhtälöstä

$b_{i}{\frac {N}{n_{i}}}\equiv 1{\pmod {n_{i}}}$.

Laskuesimerkki

Alkuperäinen Sun Tsun ongelma kuuluu seuraavasti. Kuinka monta sotilasta on Han Xingin armeijassa? Jos sotilaat marssivat kolmen riveissä, kaksi sotilasta jää yli. Jos he marssivat viiden riveissä, kolme jää yli, ja jos he marssivat seitsemän riveissä, kaksi jää yli?

Ongelma voidaan ilmaista kongruenssiyhtälöryhmänä:

${\begin{aligned}x&\equiv 2{\pmod {3}}\\x&\equiv 3{\pmod {5}}\\x&\equiv 2{\pmod {7}}\end{aligned}}$

Luvut 3, 5 ja 7 ovat pareittain jaottomia keskenään, joten voimme soveltaa kiinalaista jäännöslausetta. Nyt $N=3\cdot 5\cdot 7=105$. Ratkaistaan ensin kertoimet $b_{i}$:

$b_{1}{\frac {105}{3}}\equiv 1{\pmod {3}}\qquad b_{2}{\frac {105}{5}}\equiv 1{\pmod {5}}\qquad b_{3}{\frac {105}{7}}\equiv 1{\pmod {7}}$

Kokeilemalla ratkeaa $b_{1}=2$, $b_{2}=1$, $b_{3}=1$. Sotilaiden määräksi saadaan:

$x=2\cdot 2{\frac {105}{3}}+3\cdot 1{\frac {105}{5}}+2\cdot 1{\frac {105}{7}}=233{\pmod {105}}.$

Sotilaiden määrä voi siis olla 23, 128, 233, 338, ...

Lähteet

• Rosen, Kenneth H.: Elementary Number Theory and Its Applications, s. 107–109. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley, 1984. ISBN 0-201-06561-4. (englanniksi)

Aiheesta muualla

• Kiinalainen jäännöslause ja sen sovelluksia
• Kiinalainen jäännöslause MathWorldissa (englanniksi)
• http://solmu.math.helsinki.fi/2012/3/kiinalainen.pdf