Jordanin–Hölderin lause

Jordanin–Hölderin lause on ryhmäteorian lause, joka on nimetty Camille Jordanin ja Otto Hölderin mukaan. Lauseen mukaan annetun ryhmän Jordanin–Hölderin jonot ovat ekvivalentit. Jordan todisti, että tekijöiden mahtavuudet ovat invariantteja vuonna 1869, ja Hölder todisti tekijöiden isomorfisuuden vuonna 1889. Vuonna 1927 Schreier löysi lauseelle yksinkertaisemman todistuksen, joka perustui Schreierin lemmaan. Vuonna 1934 Zassenhaus paransi Schreierin todistusta, ja hän todisti lauseen Zassenhausin lemman avulla.

Lauseen todistus

Olkoon $G$ ryhmä ja $\Sigma _{1}$ ja $\Sigma _{2}$ ryhmän $G$ Jordanin–Hölderin jonot. Schreierin lemman nojalla on olemassa ekvivalentit kompositiojonot $\Sigma _{1}^{\prime }$ ja $\Sigma _{2}^{\prime }$, jotka ovat hienompia kuin jonot $\Sigma _{1}$ ja $\Sigma _{2}$. Mutta koska $\Sigma _{1}$ ja $\Sigma _{2}$ ovat Jordanin–Hölderin jonoja, niin ne saadaan jonoista $\Sigma _{1}^{\prime }$ ja $\Sigma _{2}^{\prime }$ poistamalla ne ryhmät, jotka esiintyvät jonossa useammin kuin kerran. Siten jonot $\Sigma _{1}$ ja $\Sigma _{2}$ ovat ekvivalentit.

Lähteet

• Humphreys, John F.: A Course in Group Theory. Oxford: Oxford University Press, 1996. ISBN 0-19-853459-0. (englanniksi)