Ising-malli

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Ising-malli on statistisen mekaniikan matemaattinen malli, jossa kullakin spinillä on kaksi mahdollista arvoa ja spin vuorovaikuttaa ainoastaan vieressään oleviin spineihin. [1] Tavanomaisesti Ising-mallia käytetään yksinkertaistettuna kuvauksena ferromagnetismista. Kaksiulotteinen Ising-malli oli myös historiallisesti merkittävä sillä se tarjosi ensimmäisen eksaktisti ratkeavan esimerkin systeemistä jossa tapahtuu faasimuutos.

Historia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ising-mallin keksi alun perin Wilhelm Lenz, mutta malli sai kuitenkin nimensä Lenzin oppilaalta Ernst Isingiltä, joka julkaisi ensimmäisen Ising-mallia koskevan artikkelin vuonna 1925. Tuolloin ratkaistiin vasta yksiulotteinen malli, jossa magneettista faasimuutosta ei ilmeenny. Virheellisesti Ising oletti, ettei faasimuutosta löydy useampiulotteisistakaan malleista, mutta hän oli väärässä, sillä kaksi- ja useampiulotteisissa Ising-malleissa faasimuutos ilmenee.

Kaksiulotteisen Ising-mallin ilman ulkoista magneettikenttää ratkaisi norjalainen fyysikko Lars Onsager vuonna 1944.

Matematiikkaa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Energia Ising-mallissa välittyy viereikkäisten spinien vuorovaikuttaessa toisiinsa. Energiaa siirtyy myös ulkoisen magneettikentän muuttaessa hilassa spinien suuntaa.

Spinhilassa spinit vaikuttavat vain vieressään oleviin spineihin ja kullakin spinillä voi olla joko arvo S=-1 tai S=1. Ising-mallissa järjestelmän energia määritellään yhtälöllä

E = - \sum_{ij}J_{ij}S_iS_j,

missä siis summataan kaikkien vierekkäisten spinien tulo kerran. Alaindeksit i ja j kuvaavat vieretysten olevia spinejä. Jos vierekkäiset spinit ovat kummatkin samoja, niin tulo S_iS_j=+1 ja jos vierekkäisillä spineillä on eri spinluku, tulo on S_iS_j=-1. Yhtälössä J_{ij} on kytkentävakio. Jos J_{ij}>0, niin kyseessä on ferromagneetti, jolloin järjestelmän kaikki spinit ovat samat. Kun J_{ij}<0, niin järjestelmä on antiferromagneettinen, jolloin joka toinen spin on 1 ja joka toinen -1. Jos J_{ij}=0, niin spinit eivät vuorovaikuta keskenään ja ovat siis täysin satunnaisessa järjestyksessä.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Roger Bowley & Mariana Sánchez: ”12.2”, Introduction to Statistical Mechanics, toinen versio. Oxford University Press. ISBN 0-19-850576-0. (englanniksi)

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • I. A. Stepanov, "Exact Solutions of the One-Dimensional, Two-Dimensional, and Three-Dimensional Ising Models", – Nano Science and Nano Technology: An Indian Journal. 2012. Vol. 6. No 3. 118-122. The paper is on the Journal’s website with a free access.
Commons
Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Ising-malli.
Tämä fysiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.