Erdősin–Straussin konjektuuri on Paul Erdősin ja E. G. Straussin esittämä egyptiläisiin murtolukuihin liittyvä väittämä, jonka mukaan Diofantoksen yhtälöllä
4
n
=
1
a
+
1
b
+
1
c
{\displaystyle {4 \over n}={1 \over a}+{1 \over b}+{1 \over c}}
on olemassa positiivisista kokonaisluvuista a , b ja c muodostuva kokonaislukuratkaisu kaikilla kokonaisluvuilla
n
≥
2
{\displaystyle n\geq 2}
. Väittämän on osoitettu (A. Swett ) pitävän paikkansa kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla
n
≤
10
14
{\displaystyle n\leq 10^{14}}
.
Yleisyyttä rajoittamatta voidaan olettaa, että yllä olevassa esityksessä
a
≤
b
≤
c
{\displaystyle a\leq b\leq c}
.
Helposti todetaan, että kaikilla parillisilla luvun
n
{\displaystyle n}
arvoilla
4
n
=
1
n
/
2
+
1
n
+
1
n
{\displaystyle {4 \over n}={1 \over {n/2}}+{1 \over n}+{1 \over n}}
.
Yleisemmin, jos alkuluvulla
p
{\displaystyle p}
on esitys
4
p
=
1
a
+
1
b
+
1
c
{\displaystyle {4 \over p}={1 \over a}+{1 \over b}+{1 \over c}}
,
niin kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla
m
{\displaystyle m}
on
4
m
p
=
1
m
a
+
1
m
b
+
1
m
c
{\displaystyle {4 \over mp}={1 \over ma}+{1 \over mb}+{1 \over mc}}
.
Mahdollisen pienimmän vastaesimerkin etsinnässä voidaan siis keskittyä tarkastelemaan luvun
n
{\displaystyle n}
alkulukuarvoja.
Jos
n
≡
2
{\displaystyle n\equiv 2}
(mod
3
{\displaystyle 3}
), voidaan käyttää esitystä
4
n
=
1
n
+
1
(
n
−
2
)
/
3
+
1
+
1
n
(
(
n
−
2
)
/
3
+
1
)
.
{\displaystyle {\frac {4}{n}}={\frac {1}{n}}+{\frac {1}{(n-2)/3+1}}+{\frac {1}{n((n-2)/3+1)}}.}
Jos
n
≡
3
{\displaystyle n\equiv 3}
(mod
4
{\displaystyle 4}
), on
4
n
=
1
(
n
+
1
)
/
4
+
1
(
n
2
+
n
+
4
)
/
4
+
1
n
(
n
+
1
)
(
n
2
+
n
+
4
)
/
16
.
{\displaystyle {\frac {4}{n}}={\frac {1}{(n+1)/4}}+{\frac {1}{(n^{2}+n+4)/4}}+{\frac {1}{n(n+1)(n^{2}+n+4)/16}}.}
Jos
n
≡
5
{\displaystyle n\equiv 5}
(mod
8
{\displaystyle 8}
), käytettävissä on esitys
4
n
=
1
(
n
+
3
)
/
4
+
1
n
(
n
+
3
)
/
8
+
1
n
(
n
+
3
)
/
4
.
{\displaystyle {\frac {4}{n}}={\frac {1}{(n+3)/4}}+{\frac {1}{n(n+3)/8}}+{\frac {1}{n(n+3)/4}}.}
Jos
n
≡
5
{\displaystyle n\equiv 5}
(mod
12
{\displaystyle 12}
), käytettävissä on esitys
4
n
=
1
(
n
+
3
)
/
4
+
1
n
(
n
+
7
)
/
12
+
1
n
(
n
+
3
)
(
n
+
7
)
/
48
.
{\displaystyle {\frac {4}{n}}={\frac {1}{(n+3)/4}}+{\frac {1}{n(n+7)/12}}+{\frac {1}{n(n+3)(n+7)/48}}.}