Erdősin–Straussin konjektuuri

Erdősin–Straussin konjektuuri on Paul Erdősin ja E. G. Straussin esittämä egyptiläisiin murto­lukuihin liittyvä väittämä, jonka mukaan Diofantoksen yhtälöllä

${4 \over n}={1 \over a}+{1 \over b}+{1 \over c}$${4 \over n}={1 \over a}+{1 \over b}+{1 \over c}$

on olemassa positiivisista kokonaisluvuista a, b ja c muodostuva kokonaislukuratkaisu kaikilla kokonaisluvuilla $n\geq 2$$n\geq 2$. Väittämän on osoitettu (A. Swett) pitävän paikkansa kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla $n\leq 10^{14}$$n\leq 10^{14}$.

Yleisyyttä rajoittamatta voidaan olettaa, että yllä olevassa esityksessä $a\leq b\leq c$$a\leq b\leq c$.

Helposti todetaan, että kaikilla parillisilla luvun $n$$n$ arvoilla

${4 \over n}={1 \over {n/2}}+{1 \over n}+{1 \over n}$${4 \over n}={1 \over {n/2}}+{1 \over n}+{1 \over n}$.

Yleisemmin, jos alkuluvulla $p$$p$ on esitys

${4 \over p}={1 \over a}+{1 \over b}+{1 \over c}$${4 \over p}={1 \over a}+{1 \over b}+{1 \over c}$,

niin kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla $m$$m$ on

${4 \over mp}={1 \over ma}+{1 \over mb}+{1 \over mc}$${4 \over mp}={1 \over ma}+{1 \over mb}+{1 \over mc}$.

Mahdollisen pienimmän vastaesimerkin etsinnässä voidaan siis keskittyä tarkastelemaan luvun $n$$n$ alkulukuarvoja.

Jos $n\equiv 2$$n\equiv 2$ (mod $3$$3$), voidaan käyttää esitystä

${\frac {4}{n}}={\frac {1}{n}}+{\frac {1}{(n-2)/3+1}}+{\frac {1}{n((n-2)/3+1)}}.$${\frac {4}{n}}={\frac {1}{n}}+{\frac {1}{(n-2)/3+1}}+{\frac {1}{n((n-2)/3+1)}}.$

Jos $n\equiv 3$$n\equiv 3$ (mod $4$$4$), on

${\frac {4}{n}}={\frac {1}{(n+1)/4}}+{\frac {1}{(n^{2}+n+4)/4}}+{\frac {1}{n(n+1)(n^{2}+n+4)/16}}.$${\frac {4}{n}}={\frac {1}{(n+1)/4}}+{\frac {1}{(n^{2}+n+4)/4}}+{\frac {1}{n(n+1)(n^{2}+n+4)/16}}.$

Jos $n\equiv 5$$n\equiv 5$ (mod $8$$8$), käytettävissä on esitys

${\frac {4}{n}}={\frac {1}{(n+3)/4}}+{\frac {1}{n(n+3)/8}}+{\frac {1}{n(n+3)/4}}.$${\frac {4}{n}}={\frac {1}{(n+3)/4}}+{\frac {1}{n(n+3)/8}}+{\frac {1}{n(n+3)/4}}.$

Jos $n\equiv 5$$n\equiv 5$ (mod $12$$12$), käytettävissä on esitys

${\frac {4}{n}}={\frac {1}{(n+3)/4}}+{\frac {1}{n(n+7)/12}}+{\frac {1}{n(n+3)(n+7)/48}}.$${\frac {4}{n}}={\frac {1}{(n+3)/4}}+{\frac {1}{n(n+7)/12}}+{\frac {1}{n(n+3)(n+7)/48}}.$