Dedekindin zeetafunktio
Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan. |
Matematiikassa algebrallisen lukukunnan Dedekindin zeetafunktio ζK(s) on yleistys Riemannin zeeta-funktiosta, joka on erikoistapaus jolloin K on rationaalilukujen joukko Q. Dedekindin zeetafunktiolla on paljon yhteistä Riemannin zeetafunktion kanssa: se määritellään Dirichlet'n sarjana, se voidaan kirjoittaa Eulerin tulona, sillä on funktionaaliyhtälö, se voidaan jatkaa analyyttisesti meromorfiseksi funktioksi kompleksitasoon C yksinkertaisella navalla arvolla s = 1. Se antaa aritmeettista informaatiota kunnasta K. Laajennettu Riemannin hypoteesi sanoo että jos ζK(s) = 0 ja 0 < Re(s) < 1, niin Re(s) = 1/2.
Zeetafunktio on nimetty Richard Dedekindin mukaan.
Määritelmä
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Olkoon K algebrallinen lukukunta. Tällöin sen Dedekindin zeetafunktio kompleksiluvuille s niin että Re(s) > 1 määritellään Dirichlet'n sarjana
missä kulkee kaikkien kunnan kokonaislukuideaalien läpi ja on niiden absoluuttinormi. Se voidaan kirjoittaa Eulerin tulona
missä kulkee kaikkien kunnan alkuideaalien yli.