Absoluuttinen jatkuvuus

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Matematiikassa reaaliarvoinen funktio f on absoluuttisesti jatkuva annetulla välillä jos kaikille positiivisille luvuille ε on olemassa positiivinen luku δ siten, että aina kun jono pareittain erillisiä välejä [xk, yk], k = 1, ..., n toteuttaa

on voimassa

Jokainen absoluuttisesti jatkuva funktio on tasaisesti jatkuva ja siten jatkuva. Jokainen Lipschitz-funktio on absoluuttisesti jatkuva.

Cantorin funktio on kaikkialla jatkuva, mutta ei ole absoluuttisesti jatkuva, kuten ei ole myöskään funktio

äärellisellä välillä, joka sisältää origon. Myöskään ei ole absoluuttisesti jatkuva äärettömällä välillä.

  • Jos f on absoluuttisesti jatkuva äärellisellä välillä [a,b], se on tällä välillä myös rajoitetusti heilahteleva funktio.
  • Jos f on absoluuttisesti jatkuva välillä [a,b], sillä on Lusinin N ominaisuus (eli kaikilla joilla , on voimassa , missä on Lebesguen mitta).
  • Jos f on absoluuttisesti jatkuva, on f:llä derivaatta melkein kaikkialla.
  • Jos f on jatkuva, rajoitetusti heilahteleva ja sillä on Lusinin N-ominaisuus, on se absoluuttisesti jatkuva.

Mittojen absoluuttinen jatkuvuus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos μ ja ν ovat mittoja samassa sigma-algebrassa, on μ absoluuttisesti jatkuva ν:n suhteen jos μ(A) = 0 kaikilla joukoilla A joilla ν(A) = 0. Tälle käytetään merkintää "μ << ν". Siis:

Mittojen absoluuttinen jatkuvuus on refleksiivinen ja transitiivinen relaatio, mutta se ei ole antisymmetrinen. Siten se on esijärjestys, mutta ei osittainen järjestys. Jos μ << ν ja ν << μ, mittojen μ ja ν sanotaan olevan ekvivalentteja. Siten absoluuttinen jatkuvuus indusoi osittaisen järjestyksen kyseisten ekvivalenssiluokkien välille.

Jos μ on merkkinen tai kompleksimitta, sanotaan, että μ on absoluuttisesti jatkuva ν:n suhteen jos sen variaatio |μ| toteuttaa |μ| << ν. Yhtäpitävästi jos jokainen joukko A, jolla ν(A) = 0 on μ-nollajoukko.

Radonin–Nikodymin lause sanoo, että jos μ on absoluuttisesti jatkuva ν:n suhteen ja ν on σ-äärellinen, on μ:llä tiheys eli Radonin–Nikodymin derivaatta ν:n suhteen. Tästä seuraa, että on olemassa ν-mitallinen funktio f = dμ/dν, joka saa arvot [0,∞], jolle kaikilla ν-mitallisilla joukoilla A on voimassa