Yhdensuuntaisprojektio

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Yhdensuuntaisprojektio on analyyttisen tasogeometrian tapa kuvata kolmiulotteinen kappale kaksiulotteisessa mediassa. Siinä kuvaussäteet ovat keskenään yhdensuuntaisia ja leikkaavat kuvatason jokaisessa pisteessä samassa kiinteässä kulmassa. Yhdensuuntaisprojektio kuvaa pisteet pisteiksi, suorat suoriksi, yhdensuuntaiset suorat yhdensuuntaisiksi ja janojen jakosuhteet samansuuruisiksi. Siispä kuvatason suuntaiset kuviot säilyvät oikean mittaisina.

Axonometric projection.svg

Yhdensuuntaisprojektiolla voidaan projisoida koko avaruus kuvatasoon, toisin kuin esimerkiksi keskusprojektiolla eli perspektiivillä.

Yhdensuuntaisprojektio voi olla


Ortografinen projektio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ortografiset yhdensuuntaisprojektiot (ts. ortogonaaliprojektiot) voivat olla joko yhdensuuntaisia tasoprojektioita tai aksonometrisiä projektioita. Ortografinen projektio on kuvien muodostuksessa luontevampi kuin vino yhdensuuntaisprojektio, koska kuvaa katsotaan normaalisti lähes kohtisuoraan paperin tasoa vastaan.

Tasoprojektio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yleisin kuvaustapa ovat ortografiset yhdensuuntaiset tasoprojektiot. Projisointitapa kappaleiden mallintamisessa on yksinkertainen. Kappale ikään kuin heijastetaan ympärillä olevan kuvitteellisen laatikon sisäpinnoille. Tästä saadaan kaksi pohjapiirrosta ja neljä sivunäkymää. Kaksiulotteinen esitys saadaan, kun laatikko ”taitetaan auki”, jolloin sisäpintojen projektiot saadaan näkyville. Tasoprojektioita käytetään teknisessä piirtämisessä. Esimerkkinä näistä ovat kone-, asema-, pohja-, leikkaus- ja julkisivupiirrustukset.

Aksonometrinen projektio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Erilaisia projektioita

Aksonometrisellä projektiolla saadaan parhaiten aikaan kolmiulotteinen vaikutelma.

Aksonometrisen projektion tyypit ovat

Yleisin aksonometrisistä projektioista.
Projektion x-, y- ja z-akseleiden väliset kulmat ovat yhtä suuret, esim. 120°.
  • Dimetrinen projektio
Projektion x-, y- ja z-akseleiden välisistä kulmista kaksi ovat yhtä suuria, esim. 105°, 105° ja 150°.
  • Trimetrinen projektio
Projektion x-, y- ja z-akseleiden väliset kulmat ovat erisuuria, esim. 155,1°, 106,1° ja 98,79°.

Vino projektio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Vinot projektiot ovat yleisiä niiden yksinkertaisen piirtämisen vuoksi, vaikka pituudet eivät näytäkään aivan luonnollisilta. Niitä käytetään yksinomaan piirtämiseen, eikä niinkään muodollisiin laskutoimituksiin. Pystyjanat pyritään havainnollisuuden vuoksi suuntaamaan aina suoraan ylöspäin. Akseleiden välisistä kulmista yksi on tasan 90° ja muut kaksi kulmaa ovat mielivaltaisia.

Vinoja yhdensuuntaisprojektioita ovat esimerkiksi kavaljeeri- ja sotilasprojektio.

Lauseita yhdensuuntaisprojektiolle[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Bijektio \mathbb{R}²→ \mathbb{R}² on yhdensuuntaisprojektio, jos sen antamat kuvaussuorat ovat yhdensuuntaisia.


Huom. Kahden yhdensuuntaisprojektion yhdiste ei välttämättä ole yhdensuuntaisprojektio.


Lause

Yhdensuuntaisprojektio

  1. kuvaa suoran suoraksi
  2. kuvaa yhdensuuntaiset suorat yhdensuuntaisiksi
  3. säilyttää janan osien suhteet.


Lause

Yhdensuuntaisprojektio on affiini kuvaus.


Lause

Jokainen affiini kuvaus on kahden yhdensuuntaisprojektion yhdiste.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

D. A. Brannan, M. F. Esplen ja J. J. Gray: Geometry, Cambridge University Press 1999

Dosentti Petteri Harjulehdon luentomuistiinpanot 14.4.2010 Geometrian kurssilla Helsingin yliopistossa

[1] Petteri Harjulehto: Kavaljeeri- ja sotilasprojektiot, artikkeli matematiikkalehti Solmussa 2/2007

Erkki Rosenberg: Geometria, Limes ry, Helsinki 1991

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Perspektiivi

Projektio (lineaarialgebra)

Analyyttinen geometria

Affiini kuvaus

Tekninen piirtäminen