Wieferichin alkuluku

Wieferichin alkuluku on sellainen alkuluku $p$, joka toteuttaa kongruenssin $2^{p-1}\equiv 1$ $(\mbox{mod }p^2)$.

Fermat'n pienen lauseen mukaan jokainen pariton alkuluku $p$ toteuttaa ehdon $2^{p-1}\equiv 1$ $(\mbox{mod }p)$. Siis luku $p$ jakaa tasan luvun $2^{p-1}-1$, joten luku $(2^{p-1}-1)/p$ on aina kokonaisluku. Luku $p$ on Wieferichin alkuluku, jos tämäkin kokonaisluku on tasan jaollinen luvulla $p$.

Wieferich osoitti vuonna 1909, että jos ns. Fermat'n suuren lauseen ensimmäisellä tapauksella on olemassa vastaesimerkki eksponentilla $p$, niin tämä eksponentti on Wieferichin alkuluku.

Wieferichin alkulukuja on pyritty systemaattisesti etsimään tietokonetta apuna käyttäen. Toistaiseksi ainoat tunnetut Wieferichin alkuluvut ovat $1093$ ja $3511$. Laajamittaisten tietokoneajojen avulla on saatu selville, että muita lukua $4\cdot 10^{12}$ pienempiä Wieferichin alkulukuja ei ole olemassa.

• Wieferich@Home