Whiteheadin lause

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Matematiikassa homotopiateoriaan kuuluva Whiteheadin lause sanoo, että jos jatkuva kuvaus f topologisten avaruuksien X ja Y välillä indusoi isomorfismin kaikkien homotopiaryhmien välille, on f homotopiaekvivalenssi olettaen, että X ja Y ovat yhtenäisiä CW-komplekseja. Tuloksen todisti J. H. C. Whitehead ja se tarjosi perustelut CW-kompleksien hyödyllisyydelle homotopiateoriassa.

Tarkemmin sanottuna, olkoon annetut CW-kompleksit X ja Y kantapisteinään x ja y tässä järjestyksessä. Olkoon f jatkuva kuvaus

f : XY,

jolle f(x) = y. Kun n ≥ 0, tarkastellaan indusoituja kuvauksia

f* : πn(X,x) → πn(Y,y),

missä πn tarkoittaa kaikilla n ≥ 1 n:ttä homotopiaryhmää. Kun n = 0 tämä tarkoittaa polkukomponenttien kuvausta. Jos sekä X että Y ovat yhtenäisiä, ei kuvaus f anna mitään tietoa avaruuksista. Sanomme, että f on heikko homotopiaekvivalenssi jos kuvaukset f* ovat kaikki bijektiivisiä. Tällöin Whiteheadin lause sanoo, että heikko topologiaekvivalenssi yhtenäisten CW-kompleksien välillä on itse asiassa homotopiaekvivalenssi.