Tulotopologia

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Joukkojen karteesisen tulon topologia voidaan muodostaa kahdella melko luonnollisella tavalla kerrottavien joukkojen topologioista. Näitä kutsutaan laatikko- ja tulotopologiaksi. Nämä eroavat toisistaan, jos kerrottavia joukkoja on äärettömän monta; äärellisessä tapauksessa eroa ei ole.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon X karteesinen tulo indeksijoukon I yli:

X := \prod_{i \in I} X_i,

Joukon X tulotopologia on unionit joukosta \prod U_i, jossa jokainen Ui on avoin joukossa Xi ja Ui ≠ Xi vain äärellisen monta kertaa.

Jos edellä indeksijoukko I on äärellinen, ei määritelmän kohdalla "äärellisen monta" ole merkitystä; tämän vuoksi laatikko- ja tulotopologia eivät eroa äärellisten tulojen tapauksessa.

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kerrotaan kaksi Sierpińskin avaruutta keskenään. Nimetään selkeyden vuoksi toisen alkiot a ja b, toisen 0 ja 1, jolloin topologiat ovat \{\varnothing, \{a\}, \{a,b\}\} ja vastaavasti \{\varnothing, \{0\}, \{0,1\}\}. Avaruuden kannaksi tulee \{\{(a,0)\}, \{(a,0), (a,1)\}, \{(a,0), (b,0)\}\}, ja avaruuteen tulee (koko joukon ja tyhjän joukon lisäksi) vielä näistä unioni \{(a,0), (a,1), (b,0)\}.

Reaalilukujen, joille on määritelty tavanomainen topologia, äärellinen tulo tuottaa tavanomaisen euklidisen topologian joukolle Rn.

Tavallisella topologialla varustettujen reaalilukujen numeroituvasti äärettömässä tulossa \mathbf{R}^\mathbf{N} avoin ei ole esimerkiksi jono (]0,1[, ]0,1[, ]0,1[...). Sen sijaan (]0,1[, ]0,1[, \mathbf{R}, \mathbf{R}, \mathbf{R}, ...) on avoin.

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Erotteluaksioomat
    • T0-avaruuksien tulo on T0-avaruus.
    • T1-avaruuksien tulo on T1-avaruus.
    • T2-avaruuksien (eli Hausdorffin avaruuksien) tulo on T2-avaruus.

Vertailua laatikkotopologiaan[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.