Tulotopologia

Joukkojen karteesisen tulon topologia voidaan muodostaa kahdella melko luonnollisella tavalla kerrottavien joukkojen topologioista. Näitä kutsutaan laatikko- ja tulotopologiaksi. Nämä eroavat toisistaan, jos kerrottavia joukkoja on äärettömän monta; äärellisessä tapauksessa eroa ei ole.

Määritelmä

Olkoon X karteesinen tulo indeksijoukon I yli:

$X := \prod_{i \in I} X_i,$

Joukon X tulotopologia on unionit joukosta $\prod U_i$, jossa jokainen U_i on avoin joukossa X_i ja U_i ≠ X_i vain äärellisen monta kertaa.

Jos edellä indeksijoukko I on äärellinen, ei määritelmän kohdalla "äärellisen monta" ole merkitystä; tämän vuoksi laatikko- ja tulotopologia eivät eroa äärellisten tulojen tapauksessa.

Esimerkkejä

Kerrotaan kaksi Sierpińskin avaruutta keskenään. Nimetään selkeyden vuoksi toisen alkiot $a$ ja $b$, toisen $0$ ja $1$, jolloin topologiat ovat $\{\varnothing, \{a\}, \{a,b\}\}$ ja vastaavasti $\{\varnothing, \{0\}, \{0,1\}\}$. Avaruuden kannaksi tulee $\{\{(a,0)\}, \{(a,0), (a,1)\}, \{(a,0), (b,0)\}\}$, ja avaruuteen tulee (koko joukon ja tyhjän joukon lisäksi) vielä näistä unioni $\{(a,0), (a,1), (b,0)\}$.

Reaalilukujen, joille on määritelty tavanomainen topologia, äärellinen tulo tuottaa tavanomaisen euklidisen topologian joukolle Rⁿ.

Tavallisella topologialla varustettujen reaalilukujen numeroituvasti äärettömässä tulossa $\mathbf{R}^\mathbf{N}$ avoin ei ole esimerkiksi jono $(]0,1[, ]0,1[, ]0,1[...)$. Sen sijaan $(]0,1[, ]0,1[, \mathbf{R}, \mathbf{R}, \mathbf{R}, ...)$ on avoin.

Ominaisuuksia

• Erotteluaksioomat
  • T₀-avaruuksien tulo on T₀-avaruus.
  • T₁-avaruuksien tulo on T₁-avaruus.
  • T₂-avaruuksien (eli Hausdorffin avaruuksien) tulo on T₂-avaruus.