Tiheä joukko

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Intuitiivisesti topologisen avaruuden X osajoukko A on tiheä X:ssä jos jokaista X:n pistettä voidaan approksimoida jollakin A:n pisteellä. Formaalisti, A on tiheä X:ssä jos jokaisen X:n pisteen x ympäristö sisältää ainakin yhden A:n pisteen.

Yhtäpitävästi A on tiheä X:ssä jos X:n ainoa suljettu joukko, joka sisältää A:n on X. Tämä voidaan ilmaista myös sanomalla, että A:n sulkeuma on X tai että A:n komplementin sisäpisteiden muodostama joukko on tyhjä.

Metrisissä avaruuksissa on voimassa seuraava tulos: Metrisen avaruuden X joukko A on tiheä jos kaikilla X:n alkioilla x ainakin yksi A:n alkioista koostuva jono suppenee kohti x:ää.

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Jokainen topologinen avaruus on tiheä itsessään.
  • Rationaali- ja irrationaaliluvut ovat reaalilukujen tiheä osajoukko. Tämä osoittaa, että tiheitä aitoja osajoukkoja voi olla useita.
  • Suljetulla reaalivälillä jatkuvat funktiot ja metriikka, jossa etäisyyden määrää funktioiden arvojen suurin ero, muodostavat topologisen avaruuden. Rationaalikertoimiset reaalipolynomit ovat tämän avaruuden tiheä osajoukko. Tämä tarkoittaa, että suljetulla välillä jatkuvaa funktiota voidaan aproksimoida mielivaltaisella tarkkuudella polynomien avulla.
  • Metrinen avaruus M on tiheä täydellistymässään.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]