Suppenemistestit

Suppenemistestit ovat ehtoja, joiden avulla voidaan osoittaa sarjan suppeneminen tai hajaantuminen.

Suppenemistestejä

Majorantti- ja minoranttiperiaate

Olkoon $0 \le x_k \le y_k$ kaikilla $k\in$ $\mathbb{N}$. Tällöin

• Jos sarja $\sum_{k=1}^\infty y_k$ suppenee, niin sarja $\sum_{k=1}^\infty x_k$ suppenee (majoranttiperiaate).
• Jos sarja $\sum_{k=1}^\infty x_k$ hajaantuu, niin sarja $\sum_{k=1}^\infty y_k$ hajaantuu (minoranttiperiaate).

Vertailutesti

Oletetaan, että $x_k > 0$ ja $y_k > 0$ kaikilla $k\in$ $\mathbb{N}$, ja että raja-arvo $L:=\lim_{k\to\infty}\frac{x_k}{y_k}$ on olemassa. Tällöin

• Jos $L\in ]0,\infty[$, niin sarja $\sum_{k=1}^\infty x_k$ suppenee, jos ja vain jos $\sum_{k=1}^\infty y_k$ suppenee.
• Jos $L=0$ ja sarja $\sum_{k=1}^\infty y_k$ suppenee, niin myös $\sum_{k=1}^\infty x_k$ suppenee.
• Jos $L=\infty$ ja sarja $\sum_{k=1}^\infty y_k$ hajaantuu, niin myös $\sum_{k=1}^\infty x_k$ hajaantuu.

Juuritesti

Olkoon $x_k \geq 0$ kaikilla $k\in$ $\mathbb{N}$.

• Jos on olemassa $k_0$ $\in$ $\mathbb{N}$ ja vakio $q < 1$ siten, että $\sqrt[k]{x_k}\leq q$ kaikilla $k\geq k_0$, niin sarja $\sum_{k=1}^\infty x_k$ suppenee.

• Jos on olemassa $k_0$ $\in$ $\mathbb{N}$ ja vakio $q > 1$ siten, että $\sqrt[k]{x_k}\geq q$ kaikilla $k\geq k_0$, niin sarja $\sum_{k=1}^\infty x_k$ hajaantuu.

• Jos raja-arvo $L:=\lim_{k\to\infty} \sqrt[k]{x_k}$ on olemassa, niin sarja $\sum_{k=1}^\infty x_k$
  • suppenee, jos $L<1$
  • hajaantuu, jos $L>1$.

Suhdetesti

Olkoon $x_k \neq 0$ kaikilla $k\in$ $\mathbb{N}$.

• Jos on olemassa $k_0$ $\in$ $\mathbb{N}$ ja vakio $q < 1$ siten, että $\left|\frac{x_{k+1}}{x_k}\right|\leq q$ kaikilla $k\geq k_0$, niin sarja $\sum_{k=1}^\infty x_k$ suppenee.
• Jos on olemassa $k_0$ $\in$ $\mathbb{N}$ ja vakio $q > 1$ siten, että $\left|\frac{x_{k+1}}{x_k}\right|\geq q$ kaikilla $k\geq k_0$, niin sarja $\sum_{k=1}^\infty x_k$ hajaantuu.
• Jos raja-arvo $L:=\lim_{k\to\infty} \left|\frac{x_{k+1}}{x_k}\right|$ on olemassa, niin sarja $\sum_{k=1}^\infty x_k$
  • suppenee, jos $L<1$
  • hajaantuu, jos $L>1$.

Integraalitesti

Olkoon $f: [1, \infty[ \longrightarrow [0,\infty[$ vähenevä funktio, joka on integroituva jokaisella välillä $[1,a], a > 1$. Merkitään $x_k = f(k)$ kaikilla $k\in \N$.

Tällöin sarja $\sum_{n=1}^\infty x_n$ suppenee, jos ja vain jos epäoleellinen integraali $\int_1^\infty f(x)\,dx$ suppenee.

Esimerkkejä

• $\sum\limits^\infty_{k=1} \frac{k+1}{k(k+2)}$ hajaantuu, koska $\frac{k+1}{k(k+2)} : \frac{1}{k} = \frac{k + 1}{k + 2} \longrightarrow 1$, kun $k\longrightarrow \infty$, ja $\sum\limits^\infty_{k=1} \frac{1}{k}$ hajaantuu (vertailutesti).

• $\sum\limits^\infty_{k=1}$ $\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{k}\right)^k$ suppenee, koska $\sqrt[k]{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{k}\right)^k}$ $= \frac{1}{2} + \frac{1}{k} \longrightarrow \frac{1}{2}$ kun $k\longrightarrow \infty$ (juuritestin raja-arvomuoto).

Lähteet

Jussi Väisälä, Hannu Honkasalo, Lauri Myrberg, Jouni Kankaanpää: Differentiaali- ja integraalilaskenta 1.2

Lauri Myrberg: Differentiaali- ja integraalilaskenta korkeakouluja varten, osa 2, 1.-2. painos, 1978

Courant, Richard & John, Fritz: Introduction to Calculus and Analysis I, s. 520-522. Springer-Verlag, 1965. ISBN 3-540-65058-X.