Suppenemistestit

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Suppenemistestit ovat ehtoja, joiden avulla voidaan osoittaa sarjan suppeneminen tai hajaantuminen.

Suppenemistestejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Majorantti- ja minoranttiperiaate[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon 0 \le x_k \le y_k kaikilla k\in \mathbb{N}. Tällöin

  • Jos sarja \sum_{k=1}^\infty y_k suppenee, niin sarja \sum_{k=1}^\infty x_k suppenee (majoranttiperiaate).
  • Jos sarja \sum_{k=1}^\infty x_k hajaantuu, niin sarja \sum_{k=1}^\infty y_k hajaantuu (minoranttiperiaate).

Vertailutesti[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Oletetaan, että  x_k > 0 ja  y_k > 0 kaikilla k\in \mathbb{N}, ja että raja-arvo L:=\lim_{k\to\infty}\frac{x_k}{y_k} on olemassa. Tällöin

  • Jos L\in ]0,\infty[, niin sarja \sum_{k=1}^\infty x_k suppenee, jos ja vain jos \sum_{k=1}^\infty y_k suppenee.
  • Jos L=0 ja sarja \sum_{k=1}^\infty y_k suppenee, niin myös \sum_{k=1}^\infty x_k suppenee.
  • Jos L=\infty ja sarja \sum_{k=1}^\infty y_k hajaantuu, niin myös \sum_{k=1}^\infty x_k hajaantuu.

Juuritesti[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon x_k \geq 0 kaikilla k\in \mathbb{N}.

  • Jos on olemassa k_0 \in \mathbb{N} ja vakio q < 1 siten, että  \sqrt[k]{x_k}\leq q kaikilla k\geq k_0, niin sarja \sum_{k=1}^\infty x_k suppenee.
  • Jos on olemassa k_0 \in \mathbb{N} ja vakio q > 1 siten, että  \sqrt[k]{x_k}\geq q kaikilla k\geq k_0, niin sarja \sum_{k=1}^\infty x_k hajaantuu.
  • Jos raja-arvo L:=\lim_{k\to\infty} \sqrt[k]{x_k} on olemassa, niin sarja \sum_{k=1}^\infty x_k
    • suppenee, jos L<1
    • hajaantuu, jos L>1.

Osamäärätesti[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon x_k \neq 0 kaikilla k\in \mathbb{N}.

  • Jos on olemassa k_0 \in \mathbb{N} ja vakio q < 1 siten, että \left|\frac{x_{k+1}}{x_k}\right|\leq q kaikilla k\geq k_0, niin sarja \sum_{k=1}^\infty x_k suppenee.
  • Jos on olemassa k_0 \in \mathbb{N} ja vakio q > 1 siten, että \left|\frac{x_{k+1}}{x_k}\right|\geq q kaikilla k\geq k_0, niin sarja \sum_{k=1}^\infty x_k hajaantuu.
  • Jos raja-arvo L:=\lim_{k\to\infty} \left|\frac{x_{k+1}}{x_k}\right| on olemassa, niin sarja \sum_{k=1}^\infty x_k
    • suppenee, jos L<1
    • hajaantuu, jos L>1.

Integraalitesti[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon f: [1, \infty[ \longrightarrow [0,\infty[ vähenevä funktio, joka on integroituva jokaisella välillä [1,a], a > 1. Merkitään x_k = f(k) kaikilla k\in \N.

Tällöin sarja \sum_{n=1}^\infty x_n suppenee, jos ja vain jos epäoleellinen integraali \int_1^\infty f(x)\,dx suppenee.

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • \sum\limits^\infty_{k=1} \frac{k+1}{k(k+2)} hajaantuu, koska \frac{k+1}{k(k+2)} : \frac{1}{k} = \frac{k + 1}{k + 2} \longrightarrow 1, kun k\longrightarrow \infty, ja \sum\limits^\infty_{k=1} \frac{1}{k} hajaantuu (vertailutesti).
  • \sum\limits^\infty_{k=1} \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{k}\right)^k suppenee, koska \sqrt[k]{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{k}\right)^k} = \frac{1}{2} + \frac{1}{k} \longrightarrow \frac{1}{2} kun k\longrightarrow \infty (juuritestin raja-arvomuoto).

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Jussi Väisälä, Hannu Honkasalo, Lauri Myrberg, Jouni Kankaanpää: Differentiaali- ja integraalilaskenta 1.2
  • Lauri Myrberg: Differentiaali- ja integraalilaskenta korkeakouluja varten, osa 2, 1.-2. painos, 1978
  • Courant, Richard & John, Fritz: Introduction to Calculus and Analysis I, s. 520-522. Springer-Verlag, 1965. ISBN 3-540-65058-X.