Osamäärätesti

Osamäärätesti tai suhdetesti on tapa tutkia reaali- tai kompleksitermisten sarjojen suppenemista. Testin julkaisi Jean le Rond d'Alembert ja se tunnetaankin joskus nimellä d'Alembertin osamäärätesti.

$\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = L$

Raja-arvon tulosta tulkitaan seuraavasti:

• jos $L<1 \!$ sarja suppenee.
• jos $L>1 \!$ sarja hajaantuu.
• jos $L=1 \!$ sarjan suppenemisesta ei voida sanoa mitään.

Esimerkiksi kaikki muotoa

$\sum_{n=1}^\infty f_n$

olevat sarjat voidaan testata osamäärätestillä.

Esimerkkejä

Suppeneva

Tutkitaan sarjan suppenemista:

$\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{e^n}$

Osamäärätesti:

$\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$	=$\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{\frac{n+1}{e^{n+1}}}{\frac{n}{e^n}}\right|$
	=$\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{n+1}{e^{n+1}}\cdot\frac{e^n}{n}\right|$
	=$\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{n+1}{n}\cdot\frac{e^n}{e^n\cdot e}\right|$
	=$\lim_{n\rightarrow\infty}\left|(1+\frac{1}{n})\cdot\frac{1}{e}\right|$
	=$1\cdot\frac{1}{e}$
	=$\frac{1}{e} (<1)$

Koska $\frac{1}{e}$ on pienempi kuin 1, sarja suppenee.

Hajaantuva

Tutkitaan sarjan suppenemista:

$\sum_{n=1}^\infty\frac{e^n}{n}$

Osamäärätesti:

$\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$	=$\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{\frac{e^{n+1}}{n+1}}{\frac{e^n}{n}}\right|$
	=$\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{e^{n+1}}{n+1}\cdot\frac{n}{e^n}\right|$
	=$\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{n}{n+1}\cdot\frac{e^n\cdot e}{e^n}\right|$
	=$\lim_{n\rightarrow\infty}\left|(1-\frac{1}{n+1})\cdot e\right|$
	=$1\cdot e$
	=$\!\, e (>1)$

Koska $e$ on suurempi kuin 1, sarja hajaantuu.

Ei tiedetä

Jos sarjan raja-arvo on 1

$\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1$

osamäärätestillä ei voida selvittää sen suppenemista.

Esimerkiksi sarja

$\sum_{n=1}^\infty 1$

hajaantuu, mutta

$\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{1}{1}\right| = 1.$

Toisaalta sarja

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$

suppenee itseisesti, mutta

$\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{\frac{1}{(n+1)^2}}{\frac{1}{n^2}}\right| = 1.$

Vielä: sarja

$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{1}{n}$

suppenee ehdollisesti, mutta

$\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)}}{\frac{(-1)^{n}}{n}}\right| = 1.$

Katso myös

• Vertailuperiaate
• Juuritesti
• Integraalitesti

Kirjallisuutta

• Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.3, 5.4) ISBN 0-486-60153-6

• Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 2.36, 2.37) ISBN 0-521-58807-3