Osamäärätesti

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Osamäärätesti tai suhdetesti on tapa tutkia reaali- tai kompleksitermisten sarjojen \sum_{n=1}^\infty a_n suppenemista. Testin julkaisi Jean le Rond d'Alembert ja se tunnetaankin joskus nimellä d'Alembertin osamäärätesti. Testiä varten lasketaan sarjan kahden peräkkäisen termin itseisarvon raja-arvo indeksin n lähestyessä ääretöntä ja merkitään saatua raja-arvoa kirjaimella L. Matemaattisesti ilmaistuna

\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = L.

Saatua raja-arvoa tulkitaan seuraavasti:

  • jos  L<1 \!, niin sarja suppenee.
  • jos  L>1 \!, niin sarja hajaantuu.
  • jos  L=1 \!, niin sarjan suppenemisesta ei voida sanoa mitään osamäärätestin perusteella.

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Suppeneva[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tutkitaan sarjan

\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{e^n}

suppenemista. Lasketaan sarjan kahden peräkkäisen termin itseisarvon raja-arvo

\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
=\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{\frac{n+1}{e^{n+1}}}{\frac{n}{e^n}}\right|
=\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{n+1}{e^{n+1}}\cdot\frac{e^n}{n}\right|
=\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{n+1}{n}\cdot\frac{e^n}{e^n\cdot e}\right|
=\lim_{n\rightarrow\infty}\left|(1+\frac{1}{n})\cdot\frac{1}{e}\right|
=1\cdot\frac{1}{e}
=\frac{1}{e} <1.

Koska raja-arvo L=\frac{1}{e} on pienempi kuin 1, niin sarja suppenee.

Hajaantuva[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tutkitaan sarjan

\sum_{n=1}^\infty\frac{e^n}{n}

suppenemista. Osamäärätestin mukaisesti lasketaan

\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
=\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{\frac{e^{n+1}}{n+1}}{\frac{e^n}{n}}\right|
=\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{e^{n+1}}{n+1}\cdot\frac{n}{e^n}\right|
=\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{n}{n+1}\cdot\frac{e^n\cdot e}{e^n}\right|
=\lim_{n\rightarrow\infty}\left|(1-\frac{1}{n+1})\cdot e\right|
=1\cdot e
=\!\, e >1.

Koska L=e\approx 2{,}718\dots on suurempi kuin 1, niin sarja hajaantuu.

Testi ei kerro suppenemisesta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos sarjan raja-arvo L on tasan 1 eli

\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1,

niin osamäärätestillä ei voida selvittää sen suppenemista.

Esimerkiksi sarja

\sum_{n=1}^\infty 1

hajaantuu, mutta

\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{1}{1}\right| = 1.

Sarja

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}

puolestaan suppenee itseisesti, mutta

\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{\frac{1}{(n+1)^2}}{\frac{1}{n^2}}\right| = 1.

Sarja

\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{1}{n}

suppenee ehdollisesti, mutta

\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)}}{\frac{(-1)^{n}}{n}}\right| = 1.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.3, 5.4) ISBN 0-486-60153-6
  • Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 2.36, 2.37) ISBN 0-521-58807-3