Vertailuperiaate

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Vertailuperiaate tai vertailutesti on tapa tutkia sarjojen suppenemista. Testiä on kahta muotoa.

Vertailuperiaate[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon sarjat

\sum_{n=1}^\infty a_n ja \sum_{n=1}^\infty b_n

ja

0 \le a_n \le b_n

Tällöin jos[1]

A) sarja a_n hajaantuu, niin b_n hajaantuu (minoranttiperiaate)
B) sarja b_n suppenee, niin a_n suppenee (majoranttiperiaate)

Vertailuperiaatteen raja-arvomuoto[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon sarjat

\sum_{n=1}^\infty a_n ja \sum_{n=1}^\infty b_n

ja

0 \le a_n < b_n

Lasketaan osamäärän raja-arvo

\lim_{x=\infty} a_n/b_n = L

Nyt:[2]

A) jos L\ne0 ja L\ne\infty, niin: a_n suppenee \Leftrightarrow b_n suppenee
B) jos L=0 tai L\to\infty, niin sarjat joko suppenevat tai hajaantuvat

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Adams, Robert A.: ”9.3. Convergence Test for Positive Series”, Calculus: A Complete Course, s. 489. Pearson: Adisson Wesley, 6. painos.
  2. Adams, Robert A.: ”9.3. Convergence Test for Positive Series”, Calculus: A Complete Course, s. 490. Pearson: Adisson Wesley, 6. painos.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.1) ISBN 0-486-60153-6
  • Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 2.34) ISBN 0-521-58807-3