Singulariteetti (matematiikka)

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Singulariteetti on yleinen piste, jossa matemaattinen objekti ei ole määritelty. Toisin sanottuna se on joukossa, jossa se ei ole hyvin-määritelty annetulla tavalla, kuten differentiaalilaskennassa.

`f(x) = 1/x` ei ole esimerkiksi hyvin-määritelty, kun `x = 0`. Kyseisessä pisteessä funktion arvoa ei ole määritelty. Toisin sanottuna nollan käänteisalkiota ei ole määritelty.

Singulariteetti eroaa reaali- ja kompleksianalyysissä.

Kompleksianalyysissä singulariteetti esiintyy neljässä eri tilanteessa. Olkoon U kompleksilukujen avoin osajoukko ja piste `a` kuuluu joukkoon U siten, että funktio f on jatkuva ja diffenrentioituva jossakin `a`:n ympäristössä poissulkien a: U \ {a}.

Eristetyt singulariteetit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon funktio f ei-jatkuva pisteessä a. Piste`a` on funktion `f` poistettava singulariteetti, jos on olemassa holemorphinen funktio g, joka on määritelty joukossa U siten, että f(z) = g(z) kaikilla z joukossa U\{a}. Funktio `f` korvataan jatkuvalla funktiolla `g`.

Edellistä pistettä kutsutaan navaksi, jos on olemassa holomorphinen funktio `g` joukossa U ja luonnollinen luku `n` siten, että f(z) = g(z) / (z -a) kaikilla z joukossa U \ {a}. Derivaatta ei ole mahdollisesti olemassa kyseisessä pisteessä. Jos g(a) on erisuuri kuin nolla, niin navan astetta merkitään n:llä. Aste on polkujen lukumäärä navan ympäri. Esimerkiksi ympyränmuotoisen polun aste pisteen `a` ympäri on yksi. Edellistä singulariteettia kutsutaan "non-essential" singulariteetiksi.

Singulariteetti on "essential" eli oleellinen jos ja vain jos Laurentin sarjalla on äärettömän monta potenssia, joiden aste on negatiivinen. Toisin sanottuna tämä funktion piste ei ole poistettava piste eikä napa.

Sivuhaarojen pisteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sivuhaarojen pisteet ovat moniarvoisten funktioiden tulos, toisin kuin eristetyt singulariteetit. Esimerkiksi log(z) on määritelty joillakin rajoilla siten, että funktio voidaan tehdä vakiofunktioksia alkujoukossa (Huom! suomennos). Kompleksianalyysissä asetetaan usein analyyttisyysraja, jotta voidaan erottaa funktion ei-jatkuvat pisteet. Funktio saa tämän rajan ympärillä eri arvoja. Analyyttisyysrajan sijainnilla ja muodolla yksikkökiekossa ei ole yleensä merkitystä.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • TKK: L3 Matematiikka
  • Rudin, Real and Complex Analysis